Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - x^{2} + y^{2} - x^{2} y^{2}}{x^{2}}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - x^{2}) + y^{2} - x^{2} y^{2}}{x^{2}}$

Langkah 1.1.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 (1 - x^{2}) + y^{2} \cdot (1 - x^{2})}{x^{2}}$

Langkah 1.1.2

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $1 - x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - x^{2}) (1 + y^{2})}{x^{2}}$

Langkah 1.1.3

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1^{2} - x^{2}) (1 + y^{2})}{x^{2}}$

Langkah 1.1.4

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 1$ dan $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x) (1 + y^{2})}{x^{2}}$

Langkah 1.2

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}} (1 + y^{2})$

Langkah 1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} (\frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}} (1 + y^{2}))$

Langkah 1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Faktorkan $1 + y^{2}$ dari $\frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}} (1 + y^{2})$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}})$

Langkah 1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}})$

Langkah 1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}}$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}} d x$

Langkah 2.2.2

Integral dari $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ terhadap $y$ adalah $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Pindahkan $x^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int (1 + x) (1 - x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Langkah 2.3.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int (1 + x) (1 - x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Langkah 2.3.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int (1 + x) (1 - x) x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.3

Perluas $(1 + x) (1 - x) x^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\arctan (y) + C_{1} = \int (1 (1 - x) + x (1 - x)) x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.3.2

Terapkan sifat distributif.

$\arctan (y) + C_{1} = \int (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)) x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.3.3

Terapkan sifat distributif.

$\arctan (y) + C_{1} = \int (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)) x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.3.4

Terapkan sifat distributif.

$\arctan (y) + C_{1} = \int (1 \cdot 1 + 1 (- x)) x^{- 2} + (x \cdot 1 + x (- x)) x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.3.5

Terapkan sifat distributif.

$\arctan (y) + C_{1} = \int 1 \cdot 1 x^{- 2} + 1 (- x) x^{- 2} + (x \cdot 1 + x (- x)) x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.3.6

Terapkan sifat distributif.

$\arctan (y) + C_{1} = \int 1 \cdot 1 x^{- 2} + 1 (- x) x^{- 2} + x \cdot 1 x^{- 2} + x (- x) x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.3.7

Susun kembali $x$ dan $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int 1 \cdot 1 x^{- 2} + 1 \cdot - 1 x \cdot x^{- 2} + 1 \cdot x \cdot x^{- 2} + x (- x) x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.3.8

Susun kembali $x$ dan $- 1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int 1 \cdot 1 x^{- 2} + 1 \cdot - 1 x \cdot x^{- 2} + 1 \cdot x \cdot x^{- 2} - 1 \cdot x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.3.9

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int 1 x^{- 2} + 1 \cdot - 1 x \cdot x^{- 2} + 1 x \cdot x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.3.10

Kalikan $x^{- 2}$ dengan $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} + 1 \cdot - 1 x \cdot x^{- 2} + 1 x \cdot x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.3.11

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x \cdot x^{- 2} + 1 x \cdot x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.3.12

Buang faktor negatif.

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - (x \cdot x^{- 2}) + 1 x \cdot x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.3.13

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - (x^{1} x^{- 2}) + 1 x \cdot x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.3.14

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{1 - 2} + 1 x \cdot x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.3.15

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + 1 x \cdot x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.3.16

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x \cdot x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.3.17

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{1} x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.3.18

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{1 - 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.3.19

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.3.20

Buang faktor negatif.

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - (x \cdot x) x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.3.21

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - (x^{1} x) x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.3.22

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - (x^{1} x^{1}) x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.3.23

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - x^{1 + 1} x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.3.24

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - x^{2} x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.3.25

Buang faktor negatif.

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - (x^{2} x^{- 2}) d x$

Langkah 2.3.3.26

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - x^{2 - 2} d x$

Langkah 2.3.3.27

Kurangi $2$ dengan $2$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - x^{0} d x$

Langkah 2.3.3.28

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - 1 \cdot 1 d x$

Langkah 2.3.3.29

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - 1 d x$

Langkah 2.3.3.30

Tambahkan $- x^{- 1}$ dan $x^{- 1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} + 0 - 1 d x$

Langkah 2.3.3.31

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - 1 d x$

Langkah 2.3.4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} d x + \int - 1 d x$

Langkah 2.3.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 2}$ terhadap $x$ adalah $- x^{- 1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} + \int - 1 d x$

Langkah 2.3.6

Terapkan aturan konstanta.

$\arctan (y) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} - x + C_{3}$

Langkah 2.3.7

Sederhanakan.

$\arctan (y) + C_{1} = - \frac{1}{x} - x + C_{4}$

Langkah 2.3.8

Susun kembali suku-suku.

$\arctan (y) + C_{1} = - x - \frac{1}{x} + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\arctan (y) = - x - \frac{1}{x} + K$

Langkah 3

Ambil balikan arctangen dari kedua sisi persamaan untuk mengambil $y$ dari dalam arctangen.

$y = \tan (- x - \frac{1}{x} + K)$