Kalkulus Contoh

$(y + 2 x y^{3}) d x + (1 + 3 x^{2} y^{2} + x) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = y + 2 x y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y + 2 x y^{3}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y + 2 x y^{3}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x y^{3}]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \frac{d}{d y} [2 x y^{3}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [2 x y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $2 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 x y^{3}$ terhadap $y$ adalah $2 x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 2 x \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 2 x (3 y^{2})$

Langkah 1.3.3

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 6 x y^{2}$

Langkah 1.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y^{2} x + 1$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = 1 + 3 x^{2} y^{2} + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [1 + 3 x^{2} y^{2} + x]$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + 3 x^{2} y^{2} + x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $3 y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{2} y^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 3 y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 6 y^{2} x + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 6 y^{2} x + 1$

Langkah 2.4.2

Tambahkan $0$ dan $6 y^{2} x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x + 1$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $6 y^{2} x + 1$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $6 y^{2} x + 1$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$6 y^{2} x + 1 = 6 y^{2} x + 1$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$6 y^{2} x + 1 = 6 y^{2} x + 1$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y + 2 x y^{3} d x$

Langkah 5

Integralkan $M (x, y) = y + 2 x y^{3}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int y d x + \int 2 x y^{3} d x$

Langkah 5.2

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = y x + C + \int 2 x y^{3} d x$

Langkah 5.3

Karena $2 y^{3}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2 y^{3}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = y x + C + 2 y^{3} \int x d x$

Langkah 5.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = y x + C + 2 y^{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 5.5

Sederhanakan.

$f (x, y) = y x + 2 \cdot \frac{1}{2} y^{3} x^{2} + C$

Langkah 5.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = y x + \frac{2}{2} y^{3} x^{2} + C$

Langkah 5.6.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = y x + \frac{2}{2} y^{3} x^{2} + C$

Langkah 5.6.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (x, y) = y x + 1 y^{3} x^{2} + C$

Langkah 5.6.3

Kalikan $y^{3}$ dengan $1$ .

$f (x, y) = y x + y^{3} x^{2} + C$

Langkah 6

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = y x + y^{3} x^{2} + g (y)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 1 + 3 x^{2} y^{2} + x$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x + y^{3} x^{2} + g (y)] = 1 + 3 x^{2} y^{2} + x$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y x + y^{3} x^{2} + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [y^{3} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [y^{3} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 + 3 x^{2} y^{2} + x$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [y x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $y x$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{3} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 + 3 x^{2} y^{2} + x$

Langkah 8.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{3} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 + 3 x^{2} y^{2} + x$

Langkah 8.3.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x + \frac{d}{d y} [y^{3} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 + 3 x^{2} y^{2} + x$

Langkah 8.4

Evaluasi $\frac{d}{d y} [y^{3} x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Karena $x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $y^{3} x^{2}$ terhadap $y$ adalah $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$x + x^{2} \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 + 3 x^{2} y^{2} + x$

Langkah 8.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$x + x^{2} (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 + 3 x^{2} y^{2} + x$

Langkah 8.4.3

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$x + 3 x^{2} y^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 + 3 x^{2} y^{2} + x$

Langkah 8.5

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$x + 3 x^{2} y^{2} + \frac{d g}{d y} = 1 + 3 x^{2} y^{2} + x$

Langkah 8.6

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} + x = 1 + 3 x^{2} y^{2} + x$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kurangkan $3 x^{2} y^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} + x = 1 + 3 x^{2} y^{2} + x - 3 x^{2} y^{2}$

Langkah 9.1.2

Kurangkan $x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} = 1 + 3 x^{2} y^{2} + x - 3 x^{2} y^{2} - x$

Langkah 9.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $1 + 3 x^{2} y^{2} + x - 3 x^{2} y^{2} - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.1

Kurangi $3 x^{2} y^{2}$ dengan $3 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 1 + x + 0 - x$

Langkah 9.1.3.2

Tambahkan $1 + x$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 1 + x - x$

Langkah 9.1.3.3

Kurangi $x$ dengan $x$ .

$\frac{d g}{d y} = 1 + 0$

Langkah 9.1.3.4

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 1$

Langkah 10

Temukan $1$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int d y$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int d y$

Langkah 10.3

Terapkan aturan konstanta.

$g (y) = y + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = y x + y^{3} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = y x + y^{3} x^{2} + y + C$