Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = x y^{\frac{1}{2}}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} (x y^{\frac{1}{2}})$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $y^{\frac{1}{2}}$ dari $x y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} x)$

Langkah 1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} x)$

Langkah 1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d x} = x$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = x d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int x d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Pindahkan $y^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int x d x$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int x d x$

Langkah 2.2.1.2.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int x d x$

Langkah 2.2.1.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int x d x$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $y$ adalah $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int x d x$

Langkah 2.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Bagi setiap suku pada $2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} x^{2} + K$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Bagilah setiap suku di $2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} x^{2} + K$ dengan $2$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{2} + \frac{K}{2}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{2} + \frac{K}{2}$

Langkah 3.1.2.2

Bagilah $y^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{2} + \frac{K}{2}$

Langkah 3.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{2} + \frac{K}{2}$

Langkah 3.1.3.1.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{K}{2}$

Langkah 3.1.3.1.3

Gabungkan.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2}$

Langkah 3.1.3.1.4

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2}$

Langkah 3.1.3.1.5

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2}$

Langkah 3.2

Pangkatkan setiap sisi persamaan dengan pangkat $2$ untuk menghilangkan eksponen pecahan di sisi kiri.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$

Langkah 3.3

Sederhanakan bentuk eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Sederhanakan ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1.1

Kalikan eksponen dalam ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$

Langkah 3.3.1.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$

Langkah 3.3.1.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{1} = {(\frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$

Langkah 3.3.1.1.2

Sederhanakan.

$y = {(\frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Sederhanakan ${(\frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Tulis kembali ${(\frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$ sebagai $(\frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2}) (\frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2})$ .

$y = (\frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2}) (\frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2})$

Langkah 3.3.2.1.2

Perluas $(\frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2}) (\frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2})$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{x^{2}}{4} (\frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2}) + \frac{K}{2} (\frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2})$

Langkah 3.3.2.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (\frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2})$

Langkah 3.3.2.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Langkah 3.3.2.1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.3.1.1

Gabungkan.

$y = \frac{x^{2} x^{2}}{4 \cdot 4} + \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Langkah 3.3.2.1.3.1.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.3.1.2.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \frac{x^{2 + 2}}{4 \cdot 4} + \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Langkah 3.3.2.1.3.1.2.2

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{4 \cdot 4} + \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Langkah 3.3.2.1.3.1.3

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$y = \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Langkah 3.3.2.1.3.1.4

Gabungkan.

$y = \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{2} K}{4 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Langkah 3.3.2.1.3.1.5

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{2} K}{8} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Langkah 3.3.2.1.3.1.6

Gabungkan.

$y = \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{2} K}{8} + \frac{K x^{2}}{2 \cdot 4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Langkah 3.3.2.1.3.1.7

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$y = \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{2} K}{8} + \frac{K x^{2}}{8} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Langkah 3.3.2.1.3.1.8

Kalikan $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.3.1.8.1

Kalikan $\frac{K}{2}$ dengan $\frac{K}{2}$ .

$y = \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{2} K}{8} + \frac{K x^{2}}{8} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.3.2.1.3.1.8.2

Naikkan $K$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{2} K}{8} + \frac{K x^{2}}{8} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.3.2.1.3.1.8.3

Naikkan $K$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{2} K}{8} + \frac{K x^{2}}{8} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.3.2.1.3.1.8.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{2} K}{8} + \frac{K x^{2}}{8} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.3.2.1.3.1.8.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{2} K}{8} + \frac{K x^{2}}{8} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.3.2.1.3.1.8.6

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{2} K}{8} + \frac{K x^{2}}{8} + \frac{K^{2}}{4}$

Langkah 3.3.2.1.3.2

Tambahkan $\frac{x^{2} K}{8}$ dan $\frac{K x^{2}}{8}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.3.2.1

Susun kembali $x^{2}$ dan $K$ .

$y = \frac{x^{4}}{16} + \frac{K x^{2}}{8} + \frac{K x^{2}}{8} + \frac{K^{2}}{4}$

Langkah 3.3.2.1.3.2.2

Tambahkan $\frac{K x^{2}}{8}$ dan $\frac{K x^{2}}{8}$ .

$y = \frac{x^{4}}{16} + 2 \frac{K x^{2}}{8} + \frac{K^{2}}{4}$

Langkah 3.3.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$y = \frac{x^{4}}{16} + 2 \frac{K x^{2}}{2 (4)} + \frac{K^{2}}{4}$

Langkah 3.3.2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{x^{4}}{16} + 2 \frac{K x^{2}}{2 \cdot 4} + \frac{K^{2}}{4}$

Langkah 3.3.2.1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{x^{4}}{16} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{x^{4}}{16} + \frac{K x^{2}}{4} + K$