Kalkulus Contoh

$\frac{d x}{d t} - x = t + 1$

Langkah 1

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (t) d t}$ , di mana $P (t) = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Buat integralnya.

$e^{\int - 1 d t}$

Langkah 1.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{- t + C}$

Langkah 1.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- t}$

Langkah 2

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{- t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{- t}$ .

$e^{- t} \frac{d x}{d t} + e^{- t} (- x) = e^{- t} t + e^{- t} \cdot 1$

Langkah 2.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{- t} \frac{d x}{d t} - e^{- t} x = e^{- t} t + e^{- t} \cdot 1$

Langkah 2.3

Kalikan $e^{- t}$ dengan $1$ .

$e^{- t} \frac{d x}{d t} - e^{- t} x = e^{- t} t + e^{- t}$

Langkah 2.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{- t} \frac{d x}{d t} - e^{- t} x = e^{- t} t + e^{- t}$ .

$e^{- t} \frac{d x}{d t} - x e^{- t} = t e^{- t} + e^{- t}$

Langkah 3

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d t} [e^{- t} x] = t e^{- t} + e^{- t}$

Langkah 4

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d t} [e^{- t} x] d t = \int t e^{- t} + e^{- t} d t$

Langkah 5

Integralkan sisi kiri.

$e^{- t} x = \int t e^{- t} + e^{- t} d t$

Langkah 6

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$e^{- t} x = \int t e^{- t} d t + \int e^{- t} d t$

Langkah 6.2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = t$ dan $d v = e^{- t}$ .

$e^{- t} x = t (- e^{- t}) - \int - e^{- t} d t + \int e^{- t} d t$

Langkah 6.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- t} x = t (- e^{- t}) - - \int e^{- t} d t + \int e^{- t} d t$

Langkah 6.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e^{- t} x = t (- e^{- t}) + 1 \int e^{- t} d t + \int e^{- t} d t$

Langkah 6.4.2

Kalikan $\int e^{- t} d t$ dengan $1$ .

$e^{- t} x = t (- e^{- t}) + \int e^{- t} d t + \int e^{- t} d t$

Langkah 6.5

Biarkan $u_{1} = - t$ . Kemudian $d u_{1} = - d t$ sehingga $- d u_{1} = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Biarkan $u_{1} = - t$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1.1

Diferensialkan $- t$ .

$\frac{d}{d t} [- t]$

Langkah 6.5.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- t$ terhadap $t$ adalah $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 6.5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 6.5.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 6.5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$e^{- t} x = t (- e^{- t}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1} + \int e^{- t} d t$

Langkah 6.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- t} x = t (- e^{- t}) - \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int e^{- t} d t$

Langkah 6.7

Integral dari $e^{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $e^{u_{1}}$ .

$e^{- t} x = t (- e^{- t}) - (e^{u_{1}} + C) + \int e^{- t} d t$

Langkah 6.8

Biarkan $u_{2} = - t$ . Kemudian $d u_{2} = - d t$ sehingga $- d u_{2} = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.1

Biarkan $u_{2} = - t$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.1.1

Diferensialkan $- t$ .

$\frac{d}{d t} [- t]$

Langkah 6.8.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- t$ terhadap $t$ adalah $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 6.8.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 6.8.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 6.8.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$e^{- t} x = t (- e^{- t}) - (e^{u_{1}} + C) + \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 6.9

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- t} x = t (- e^{- t}) - (e^{u_{1}} + C) - \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 6.10

Integral dari $e^{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $e^{u_{2}}$ .

$e^{- t} x = t (- e^{- t}) - (e^{u_{1}} + C) - (e^{u_{2}} + C)$

Langkah 6.11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.11.1

Sederhanakan.

$e^{- t} x = - t e^{- t} - e^{u_{1}} - e^{u_{2}} + C$

Langkah 6.11.2

Kurangi $e^{u_{2}}$ dengan $- e^{u_{1}}$ .

$e^{- t} x = - t e^{- t} - 2 e^{u_{1}} + C$

Langkah 6.12

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $- t$ .

$e^{- t} x = - t e^{- t} - 2 e^{- t} + C$

Langkah 7

Bagi setiap suku pada $e^{- t} x = - t e^{- t} - 2 e^{- t} + C$ dengan $e^{- t}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagilah setiap suku di $e^{- t} x = - t e^{- t} - 2 e^{- t} + C$ dengan $e^{- t}$ .

$\frac{e^{- t} x}{e^{- t}} = \frac{- t e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{- 2 e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{- t} x}{e^{- t}} = \frac{- t e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{- 2 e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Langkah 7.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- t e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{- 2 e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Langkah 7.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{- t e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{- 2 e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Langkah 7.3.1.1.2

Bagilah $- t$ dengan $1$ .

$x = - t + \frac{- 2 e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Langkah 7.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x = - t + \frac{- 2 e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Langkah 7.3.1.2.2

Bagilah $- 2$ dengan $1$ .

$x = - t - 2 + \frac{C}{e^{- t}}$