Kalkulus Contoh

$(1 + \ln (x) + \frac{y}{x}) d x = (1 - \ln (x)) d y$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial agar sesuai dengan teknik persamaan diferensial Eksak.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $(1 - \ln (x)) d y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$(1 + \ln (x) + \frac{y}{x}) d x - (1 - \ln (x)) d y = 0$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 + \ln (x) + \frac{y}{x}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\ln (x)] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\ln (x)] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Langkah 2.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [\ln (x)] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Langkah 2.2.3

Karena $\ln (x)$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\ln (x)$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $\frac{1}{x}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\frac{y}{x}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{1}{x} \cdot 1$

Langkah 2.3.3

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{1}{x}$

Langkah 2.4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x}$

Langkah 2.4.2

Tambahkan $0$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

Langkah 3

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = - (1 - \ln (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (1 - \ln (x))]$

Langkah 3.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- (1 - \ln (x))$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]$

Langkah 3.2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

Langkah 3.2.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

Langkah 3.2.4

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Langkah 3.2.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Langkah 3.2.6

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Langkah 3.2.6.2

Kalikan $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Langkah 3.3

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

Langkah 4

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $\frac{1}{x}$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $\frac{1}{x}$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

Langkah 4.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ adalah identitas.

Langkah 5

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (1 - \ln (x)) d y$

Langkah 6

Integralkan $N (x, y) = - (1 - \ln (x))$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = - (1 - \ln (x)) y + C$

Langkah 6.2

Tulis kembali $- (1 - \ln (x)) y + C$ sebagai $(- 1 + \ln (x)) y + C$ .

$f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + C$

Langkah 7

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + g (x)$

Langkah 8

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Langkah 9

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [(- 1 + \ln (x)) y + g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Langkah 9.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $(- 1 + \ln (x)) y + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [(- 1 + \ln (x)) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(- 1 + \ln (x)) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Langkah 9.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [(- 1 + \ln (x)) y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $(- 1 + \ln (x)) y$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [- 1 + \ln (x)]$ .

$y \frac{d}{d x} [- 1 + \ln (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Langkah 9.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 1 + \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$y (\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Langkah 9.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$y (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Langkah 9.3.4

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$y (0 + \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Langkah 9.3.5

Tambahkan $0$ dan $\frac{1}{x}$ .

$y \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Langkah 9.3.6

Gabungkan $y$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Langkah 9.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{y}{x} + \frac{d g}{d x} = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Langkah 9.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Langkah 10

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Pindahkan semua suku yang mengandung variabel ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1.1

Kurangkan $\ln (x)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - \ln (x) = 1 + \frac{y}{x}$

Langkah 10.1.1.2

Kurangkan $\frac{y}{x}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - \ln (x) - \frac{y}{x} = 1$

Langkah 10.1.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - \ln (x) - \frac{y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1.3.1

Kurangi $\frac{y}{x}$ dengan $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d g}{d x} + 0 - \ln (x) = 1$

Langkah 10.1.1.3.2

Tambahkan $\frac{d g}{d x}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} - \ln (x) = 1$

Langkah 10.1.2

Tambahkan $\ln (x)$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d x} = 1 + \ln (x)$

Langkah 11

Temukan $1 + \ln (x)$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = 1 + \ln (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 1 + \ln (x) d x$

Langkah 11.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 1 + \ln (x) d x$

Langkah 11.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$g (x) = \int d x + \int \ln (x) d x$

Langkah 11.4

Terapkan aturan konstanta.

$g (x) = x + C + \int \ln (x) d x$

Langkah 11.5

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \ln (x)$ dan $d v = 1$ .

$g (x) = x + C + \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x$

Langkah 11.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.6.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{x}$ .

$g (x) = x + C + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Langkah 11.6.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.6.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$g (x) = x + C + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Langkah 11.6.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$g (x) = x + C + \ln (x) x - \int d x$

Langkah 11.7

Terapkan aturan konstanta.

$g (x) = x + C + \ln (x) x - (x + C)$

Langkah 11.8

Sederhanakan.

$g (x) = x + \ln (x) x - x + C$

Langkah 11.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.9.1

Kurangi $x$ dengan $x$ .

$g (x) = \ln (x) x + 0 + C$

Langkah 11.9.2

Tambahkan $\ln (x) x$ dan $0$ .

$g (x) = \ln (x) x + C$

Langkah 12

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + g (x)$ .

$f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + \ln (x) x + C$

Langkah 13

Sederhanakan $f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + \ln (x) x + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Terapkan sifat distributif.

$f (x, y) = - 1 y + \ln (x) y + \ln (x) x + C$

Langkah 13.1.2

Tulis kembali $- 1 y$ sebagai $- y$ .

$f (x, y) = - y + \ln (x) y + \ln (x) x + C$

Langkah 13.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $f (x, y) = - y + \ln (x) y + \ln (x) x + C$ .

$f (x, y) = - y + y \ln (x) + x \ln (x) + C$