Kalkulus Contoh

$y d x = 2 (x + y) d y$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial agar sesuai dengan teknik persamaan diferensial Eksak.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $2 (x + y) d y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y d x - 2 (x + y) d y = 0$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Langkah 3

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = - 2 (x + y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 2 (x + y)]$

Langkah 3.2

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 (x + y)$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x + y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \frac{d}{d x} [x + y]$

Langkah 3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.5

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (1 + 0)$

Langkah 3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \cdot 1$

Langkah 3.6.2

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2$

Langkah 4

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $1$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $- 2$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = - 2$

Langkah 4.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$1 = - 2$ bukan identitas.

Langkah 5

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $- 2$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Langkah 5.2

Substitusikan $1$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 - 1}{M}$

Langkah 5.3

Substitusikan $y$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Substitusikan $y$ untuk $M$ .

$\frac{- 2 - 1}{y}$

Langkah 5.3.2

Kurangi $1$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 3}{y}$

Langkah 5.3.3

Substitusikan $y$ untuk $M$ .

$- \frac{3}{y}$

Langkah 5.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

Langkah 6

Evaluasi integral $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

Langkah 6.2

Karena $3$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

Langkah 6.3

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

Langkah 6.4

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

Langkah 6.5

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

Langkah 6.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Sederhanakan $- 3 \ln (| y |)$ dengan memindahkan $- 3$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

Langkah 6.6.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

Langkah 6.6.3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

Langkah 7

Kalikan kedua sisi $y d x - 2 (x + y) d y = 0$ dengan faktor integral $\frac{1}{y^{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $y$ dengan $\frac{1}{y^{3}}$ .

$y \frac{1}{y^{3}} d x - 2 (x + y) d y = 0$

Langkah 7.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Faktorkan $y$ dari $y^{3}$ .

$y \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x - 2 (x + y) d y = 0$

Langkah 7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x - 2 (x + y) d y = 0$

Langkah 7.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y^{2}} d x - 2 (x + y) d y = 0$

Langkah 7.3

Kalikan $- 2 (x + y)$ dengan $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} d x - 2 (x + y) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Langkah 7.4

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{y^{2}} d x + (- 2 x - 2 y) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Langkah 7.5

Kalikan $- 2 x - 2 y$ dengan $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} d x + \frac{- 2 x - 2 y}{y^{3}} d y = 0$

Langkah 7.6

Faktorkan $2$ dari $- 2 x - 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 x$ .

$\frac{1}{y^{2}} d x + \frac{2 (- x) - 2 y}{y^{3}} d y = 0$

Langkah 7.6.2

Faktorkan $2$ dari $- 2 y$ .

$\frac{1}{y^{2}} d x + \frac{2 (- x) + 2 (- y)}{y^{3}} d y = 0$

Langkah 7.6.3

Faktorkan $2$ dari $2 (- x) + 2 (- y)$ .

$\frac{1}{y^{2}} d x + \frac{2 (- x - y)}{y^{3}} d y = 0$

Langkah 7.7

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$\frac{1}{y^{2}} d x + \frac{2 (- (x) - y)}{y^{3}} d y = 0$

Langkah 7.8

Faktorkan $- 1$ dari $- y$ .

$\frac{1}{y^{2}} d x + \frac{2 (- (x) - (y))}{y^{3}} d y = 0$

Langkah 7.9

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - (y)$ .

$\frac{1}{y^{2}} d x + \frac{2 (- (x + y))}{y^{3}} d y = 0$

Langkah 7.10

Tulis kembali $- (x + y)$ sebagai $- 1 (x + y)$ .

$\frac{1}{y^{2}} d x + \frac{2 (- 1 (x + y))}{y^{3}} d y = 0$

Langkah 7.11

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{y^{2}} d x - \frac{2 (x + y)}{y^{3}} d y = 0$

Langkah 8

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{y^{2}} d x$

Langkah 9

Integralkan $M (x, y) = \frac{1}{y^{2}}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} x + C$

Langkah 9.2

Gabungkan $\frac{1}{y^{2}}$ dan $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y^{2}} + C$

Langkah 10

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y^{2}} + g (y)$

Langkah 11

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Langkah 12

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}} + g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Langkah 12.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{x}{y^{2}} + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Langkah 12.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\frac{x}{y^{2}}$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Langkah 12.3.2

Tulis kembali $\frac{1}{y^{2}}$ sebagai ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$x \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Langkah 12.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = y^{- 1}$ dan $g (y) = y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Langkah 12.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$x (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Langkah 12.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y^{2}$ .

$x (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Langkah 12.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Langkah 12.3.5

Kalikan eksponen dalam ${(y^{2})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x (- y^{2 \cdot - 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Langkah 12.3.5.2

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$x (- y^{- 4} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Langkah 12.3.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$x (- 2 y^{- 4} y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Langkah 12.3.7

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$x (- 2 (y^{1} y^{- 4})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Langkah 12.3.8

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x (- 2 y^{1 - 4}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Langkah 12.3.9

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$x (- 2 y^{- 3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Langkah 12.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- 2 y^{- 3}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Langkah 12.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Langkah 12.5.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.2.1

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{y^{3}}$ .

$x \frac{- 2}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Langkah 12.5.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x (- \frac{2}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Langkah 12.5.2.3

Gabungkan $x$ dan $\frac{2}{y^{3}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Langkah 12.5.2.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$- \frac{2 x}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Langkah 12.5.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} - \frac{2 x}{y^{3}} = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Langkah 13

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Pindahkan semua suku yang mengandung variabel ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1.1

Tambahkan $\frac{2 (x + y)}{y^{3}}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d y} - \frac{2 x}{y^{3}} + \frac{2 (x + y)}{y^{3}} = 0$

Langkah 13.1.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 x + 2 (x + y)}{y^{3}} = 0$

Langkah 13.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 x + 2 x + 2 y}{y^{3}} = 0$

Langkah 13.1.1.4

Tambahkan $- 2 x$ dan $2 x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + 2 y}{y^{3}} = 0$

Langkah 13.1.1.5

Tambahkan $0$ dan $2 y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 y}{y^{3}} = 0$

Langkah 13.1.1.6

Hapus faktor persekutuan dari $y$ dan $y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1.6.1

Faktorkan $y$ dari $2 y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot 2}{y^{3}} = 0$

Langkah 13.1.1.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1.6.2.1

Faktorkan $y$ dari $y^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot 2}{y \cdot y^{2}} = 0$

Langkah 13.1.1.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot 2}{y \cdot y^{2}} = 0$

Langkah 13.1.1.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d g}{d y} + \frac{2}{y^{2}} = 0$

Langkah 13.1.2

Kurangkan $\frac{2}{y^{2}}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} = - \frac{2}{y^{2}}$

Langkah 14

Temukan $- \frac{2}{y^{2}}$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = - \frac{2}{y^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \frac{2}{y^{2}} d y$

Langkah 14.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - \frac{2}{y^{2}} d y$

Langkah 14.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$g (y) = - \int \frac{2}{y^{2}} d y$

Langkah 14.4

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$g (y) = - (2 \int \frac{1}{y^{2}} d y)$

Langkah 14.5

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$g (y) = - 2 \int \frac{1}{y^{2}} d y$

Langkah 14.6

Pindahkan $y^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$g (y) = - 2 \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

Langkah 14.7

Kalikan eksponen dalam ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.7.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (y) = - 2 \int y^{2 \cdot - 1} d y$

Langkah 14.7.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$g (y) = - 2 \int y^{- 2} d y$

Langkah 14.8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{- 2}$ terhadap $y$ adalah $- y^{- 1}$ .

$g (y) = - 2 (- y^{- 1} + C)$

Langkah 14.9

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.9.1

Tulis kembali $- 2 (- y^{- 1} + C)$ sebagai $- 2 (- \frac{1}{y}) + C$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{1}{y}) + C$

Langkah 14.9.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.9.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$g (y) = 2 \frac{1}{y} + C$

Langkah 14.9.2.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{y}$ .

$g (y) = \frac{2}{y} + C$

Langkah 15

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = \frac{x}{y^{2}} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y^{2}} + \frac{2}{y} + C$