Kalkulus Contoh

$(2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3) d x - (x^{2} y + 2 x) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [2 x^{3}] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{3}] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Langkah 1.2.2

Karena $2 x^{3}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 x^{3}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- x y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- x y^{2}$ terhadap $y$ adalah $- x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x (2 y) + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Langkah 1.4

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 2 y$ terhadap $y$ adalah $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Langkah 1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3]$

Langkah 1.4.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y - 2 + \frac{d}{d y} [3]$

Langkah 1.5

Karena $3$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y - 2 + 0$

Langkah 1.6

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Kurangi $2 x y$ dengan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x y - 2 + 0$

Langkah 1.6.2

Tambahkan $- 2 x y - 2$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x y - 2$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = - (x^{2} y + 2 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} y + 2 x)]$

Langkah 2.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- (x^{2} y + 2 x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2} y + 2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{2} y + 2 x]$

Langkah 2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} y + 2 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 2.4

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x^{2} y$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (y (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 2.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 \cdot y x + \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 2.7

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y x + 2 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y x + 2 \cdot 1)$

Langkah 2.9

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y x + 2)$

Langkah 2.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y x) - 1 \cdot 2$

Langkah 2.10.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.2.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (y x) - 1 \cdot 2$

Langkah 2.10.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y x - 2$

Langkah 2.10.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x y - 2$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $- 2 x y - 2$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $- 2 x y - 2$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x y - 2 = - 2 x y - 2$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$- 2 x y - 2 = - 2 x y - 2$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (x^{2} y + 2 x) d y$

Langkah 5

Integralkan $N (x, y) = - (x^{2} y + 2 x)$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$f (x, y) = - \int x^{2} y + 2 x d y$

Langkah 5.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = - (\int x^{2} y d y + \int 2 x d y)$

Langkah 5.3

Karena $x^{2}$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $x^{2}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = - (x^{2} \int y d y + \int 2 x d y)$

Langkah 5.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int 2 x d y)$

Langkah 5.5

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = - (x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + 2 x y + C)$

Langkah 5.6

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (x^{2} (\frac{y^{2}}{2} + C) + 2 x y + C)$

Langkah 5.7

Sederhanakan.

$f (x, y) = - (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y) + C$

Langkah 5.8

Susun kembali suku-suku.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y) + C$

Langkah 6

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y) + g (x)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y) + g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Langkah 8.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Penjumlahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- (\frac{x^{2}}{2} y^{2} + 2 x y) + g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Langkah 8.2.1.2

Gabungkan $\frac{x^{2}}{2}$ dan $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y) + g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Langkah 8.2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y) + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y]$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Langkah 8.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y]$ .

$- (\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Langkah 8.3.3

Karena $\frac{y^{2}}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x^{2} y^{2}}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- (\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Langkah 8.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- (\frac{y^{2}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Langkah 8.3.5

Karena $2 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x y$ terhadap $x$ adalah $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (\frac{y^{2}}{2} (2 x) + 2 y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Langkah 8.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- (\frac{y^{2}}{2} (2 x) + 2 y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Langkah 8.3.7

Gabungkan $2$ dan $\frac{y^{2}}{2}$ .

$- (\frac{2 y^{2}}{2} x + 2 y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Langkah 8.3.8

Gabungkan $\frac{2 y^{2}}{2}$ dan $x$ .

$- (\frac{2 y^{2} x}{2} + 2 y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Langkah 8.3.9

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.9.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- (\frac{2 y^{2} x}{2} + 2 y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Langkah 8.3.9.2

Bagilah $y^{2} x$ dengan $1$ .

$- (y^{2} x + 2 y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Langkah 8.3.10

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$- (y^{2} x + 2 y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Langkah 8.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$- (y^{2} x + 2 y) + \frac{d g}{d x} = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Langkah 8.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Terapkan sifat distributif.

$- (y^{2} x) - (2 y) + \frac{d g}{d x} = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Langkah 8.5.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- y^{2} x - 2 y + \frac{d g}{d x} = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Langkah 8.5.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} - y^{2} x - 2 y = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Tambahkan $y^{2} x$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d x} - 2 y = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3 + y^{2} x$

Langkah 9.1.2

Tambahkan $2 y$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3 + y^{2} x + 2 y$

Langkah 9.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3 + y^{2} x + 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.1

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $- x y^{2}$ dan $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} - y^{2} x - 2 y + 3 + y^{2} x + 2 y$

Langkah 9.1.3.2

Tambahkan $- y^{2} x$ dan $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} - 2 y + 3 + 0 + 2 y$

Langkah 9.1.3.3

Tambahkan $2 x^{3} - 2 y + 3$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} - 2 y + 3 + 2 y$

Langkah 9.1.3.4

Tambahkan $- 2 y$ dan $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + 0 + 3$

Langkah 9.1.3.5

Tambahkan $2 x^{3}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + 3$

Langkah 10

Temukan $2 x^{3} + 3$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + 3$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x^{3} + 3 d x$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x^{3} + 3 d x$

Langkah 10.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$g (x) = \int 2 x^{3} d x + \int 3 d x$

Langkah 10.4

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$g (x) = 2 \int x^{3} d x + \int 3 d x$

Langkah 10.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 3 d x$

Langkah 10.6

Terapkan aturan konstanta.

$g (x) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 3 x + C$

Langkah 10.7

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x^{4}$ .

$g (x) = 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 3 x + C$

Langkah 10.8

Sederhanakan.

$g (x) = \frac{x^{4}}{2} + 3 x + C$

Langkah 10.9

Susun kembali suku-suku.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y) + g (x)$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y) + \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

Langkah 12

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{x^{2}}{2} y^{2} + 2 x y) + \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

Langkah 12.1.2

Gabungkan $\frac{x^{2}}{2}$ dan $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y) + \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

Langkah 12.2

Terapkan sifat distributif.

$f (x, y) = - \frac{x^{2} y^{2}}{2} - (2 x y) + \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

Langkah 12.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2} y^{2}}{2} - 2 (x y) + \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

Langkah 12.4

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{4}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y + \frac{x^{4}}{2} + 3 x + C$