Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = 6 x - 3 y$

Langkah 1

Tambahkan $3 y$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d y}{d x} + 3 y = 6 x$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int 3 d x}$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{3 x + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{3 x}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{3 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + e^{3 x} (3 y) = e^{3 x} (6 x)$

Langkah 3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} (6 x)$

Langkah 3.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 6 e^{3 x} x$

Langkah 3.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 6 e^{3 x} x$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 y e^{3 x} = 6 x e^{3 x}$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] = 6 x e^{3 x}$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} y] d x = \int 6 x e^{3 x} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$e^{3 x} y = \int 6 x e^{3 x} d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $6$ keluar dari integral.

$e^{3 x} y = 6 \int x e^{3 x} d x$

Langkah 7.2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 6 (x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 6 (x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

Langkah 7.3.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

Langkah 7.3.3

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} d x)$

Langkah 7.4

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x))$

Langkah 7.5

Biarkan $u = 3 x$ . Kemudian $d u = 3 d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Biarkan $u = 3 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1.1

Diferensialkan $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Langkah 7.5.1.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 7.5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Langkah 7.5.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3$

Langkah 7.5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{3} d u)$

Langkah 7.6

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u}}{3} d u)$

Langkah 7.7

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u))$

Langkah 7.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.8.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u)$

Langkah 7.8.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u)$

Langkah 7.9

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$

Langkah 7.10

Tulis kembali $6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$ sebagai $6 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

Langkah 7.11

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + C$

Langkah 7.12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.12.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.12.1.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x}{3} e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + C$

Langkah 7.12.1.2

Gabungkan $\frac{x}{3}$ dan $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + C$

Langkah 7.12.1.3

Gabungkan $e^{3 x}$ dan $\frac{1}{9}$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

Langkah 7.12.2

Terapkan sifat distributif.

$e^{3 x} y = 6 \frac{x e^{3 x}}{3} + 6 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

Langkah 7.12.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.12.3.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$e^{3 x} y = 3 (2) \frac{x e^{3 x}}{3} + 6 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

Langkah 7.12.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{3 x} y = 3 \cdot 2 \frac{x e^{3 x}}{3} + 6 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

Langkah 7.12.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + 6 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

Langkah 7.12.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.12.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{e^{3 x}}{9}$ ke dalam pembilangnya.

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + 6 \frac{- e^{3 x}}{9} + C$

Langkah 7.12.4.2

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + 3 (2) \frac{- e^{3 x}}{9} + C$

Langkah 7.12.4.3

Faktorkan $3$ dari $9$ .

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + 3 \cdot 2 \frac{- e^{3 x}}{3 \cdot 3} + C$

Langkah 7.12.4.4

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + 3 \cdot 2 \frac{- e^{3 x}}{3 \cdot 3} + C$

Langkah 7.12.4.5

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + 2 \frac{- e^{3 x}}{3} + C$

Langkah 7.12.5

Gabungkan $2$ dan $\frac{- e^{3 x}}{3}$ .

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + \frac{2 (- e^{3 x})}{3} + C$

Langkah 7.12.6

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + \frac{- 2 e^{3 x}}{3} + C$

Langkah 7.12.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$e^{3 x} y = 2 x e^{3 x} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + C$

Langkah 7.12.8

Untuk menuliskan $2 x e^{3 x}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$e^{3 x} y = 2 x e^{3 x} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + C$

Langkah 7.12.9

Gabungkan $2 x e^{3 x}$ dan $\frac{3}{3}$ .

$e^{3 x} y = \frac{2 x e^{3 x} \cdot 3}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + C$

Langkah 7.12.10

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$e^{3 x} y = \frac{2 x e^{3 x} \cdot 3 - 2 e^{3 x}}{3} + C$

Langkah 7.12.11

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.12.11.1

Faktorkan $2 e^{3 x}$ dari $2 x e^{3 x} \cdot 3 - 2 e^{3 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.12.11.1.1

Faktorkan $2 e^{3 x}$ dari $2 x e^{3 x} \cdot 3$ .

$e^{3 x} y = \frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3) - 2 e^{3 x}}{3} + C$

Langkah 7.12.11.1.2

Faktorkan $2 e^{3 x}$ dari $- 2 e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = \frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3) + 2 e^{3 x} (- 1)}{3} + C$

Langkah 7.12.11.1.3

Faktorkan $2 e^{3 x}$ dari $2 e^{3 x} (x \cdot 3) + 2 e^{3 x} (- 1)$ .

$e^{3 x} y = \frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3 - 1)}{3} + C$

Langkah 7.12.11.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x$ .

$e^{3 x} y = \frac{2 e^{3 x} (3 x - 1)}{3} + C$

$e^{3 x} y = \frac{2}{3} e^{3 x} (3 x - 1) + C$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $e^{3 x} y = \frac{2}{3} \cdot (e^{3 x} (3 x - 1)) + C$ dengan $e^{3 x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $e^{3 x} y = \frac{2}{3} \cdot (e^{3 x} (3 x - 1)) + C$ dengan $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{\frac{2}{3} \cdot (e^{3 x} (3 x - 1))}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{3 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{\frac{2}{3} \cdot (e^{3 x} (3 x - 1))}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\frac{2}{3} \cdot (e^{3 x} (3 x - 1))}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Langkah 8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{\frac{2}{3} \cdot (e^{3 x} (3 x - 1)) + C}{e^{3 x}}$

Langkah 8.3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{\frac{2}{3} \cdot (e^{3 x} (3 x) + e^{3 x} \cdot - 1) + C}{e^{3 x}}$

Langkah 8.3.2.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$y = \frac{\frac{2}{3} \cdot (3 e^{3 x} x + e^{3 x} \cdot - 1) + C}{e^{3 x}}$

Langkah 8.3.2.3

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{3 x}$ .

$y = \frac{\frac{2}{3} \cdot (3 e^{3 x} x - 1 \cdot e^{3 x}) + C}{e^{3 x}}$

Langkah 8.3.2.4

Tulis kembali $- 1 e^{3 x}$ sebagai $- e^{3 x}$ .

$y = \frac{\frac{2}{3} \cdot (3 e^{3 x} x - e^{3 x}) + C}{e^{3 x}}$

Langkah 8.3.2.5

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{\frac{2}{3} (3 e^{3 x} x) + \frac{2}{3} (- e^{3 x}) + C}{e^{3 x}}$

Langkah 8.3.2.6

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.6.1

Faktorkan $3$ dari $3 e^{3 x} x$ .

$y = \frac{\frac{2}{3} (3 (e^{3 x} x)) + \frac{2}{3} (- e^{3 x}) + C}{e^{3 x}}$

Langkah 8.3.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{\frac{2}{3} (3 (e^{3 x} x)) + \frac{2}{3} (- e^{3 x}) + C}{e^{3 x}}$

Langkah 8.3.2.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{2 (e^{3 x} x) + \frac{2}{3} (- e^{3 x}) + C}{e^{3 x}}$

Langkah 8.3.2.7

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $e^{3 x}$ .

$y = \frac{2 (e^{3 x} x) - \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}{e^{3 x}}$

Langkah 8.3.2.8

Gabungkan $2 e^{3 x} x$ dan $- \frac{2 e^{3 x}}{3}$ menggunakan penyebut umum.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.8.1

Pindahkan $e^{3 x}$ .

$y = \frac{2 x e^{3 x} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}{e^{3 x}}$

Langkah 8.3.2.8.2

Untuk menuliskan $2 x e^{3 x}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 x e^{3 x} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}{e^{3 x}}$

Langkah 8.3.2.8.3

Gabungkan $2 x e^{3 x}$ dan $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x} \cdot 3}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}{e^{3 x}}$

Langkah 8.3.2.8.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x} \cdot 3 - 2 e^{3 x}}{3} + C}{e^{3 x}}$

Langkah 8.3.2.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.9.1

Faktorkan $2 e^{3 x}$ dari $2 x e^{3 x} \cdot 3 - 2 e^{3 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.9.1.1

Faktorkan $2 e^{3 x}$ dari $2 x e^{3 x} \cdot 3$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3) - 2 e^{3 x}}{3} + C}{e^{3 x}}$

Langkah 8.3.2.9.1.2

Faktorkan $2 e^{3 x}$ dari $- 2 e^{3 x}$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3) + 2 e^{3 x} (- 1)}{3} + C}{e^{3 x}}$

Langkah 8.3.2.9.1.3

Faktorkan $2 e^{3 x}$ dari $2 e^{3 x} (x \cdot 3) + 2 e^{3 x} (- 1)$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3 - 1)}{3} + C}{e^{3 x}}$

Langkah 8.3.2.9.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (3 x - 1)}{3} + C}{e^{3 x}}$

Langkah 8.3.3

Untuk menuliskan $C$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (3 x - 1)}{3} + C \cdot \frac{3}{3}}{e^{3 x}}$

Langkah 8.3.4

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.4.1

Gabungkan $C$ dan $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (3 x - 1)}{3} + \frac{C \cdot 3}{3}}{e^{3 x}}$

Langkah 8.3.4.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (3 x - 1) + C \cdot 3}{3}}{e^{3 x}}$

Langkah 8.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.5.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (3 x) + 2 e^{3 x} \cdot - 1 + C \cdot 3}{3}}{e^{3 x}}$

Langkah 8.3.5.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$y = \frac{\frac{2 \cdot 3 e^{3 x} x + 2 e^{3 x} \cdot - 1 + C \cdot 3}{3}}{e^{3 x}}$

Langkah 8.3.5.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$y = \frac{\frac{2 \cdot 3 e^{3 x} x - 2 e^{3 x} + C \cdot 3}{3}}{e^{3 x}}$

Langkah 8.3.5.4

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$y = \frac{\frac{6 e^{3 x} x - 2 e^{3 x} + C \cdot 3}{3}}{e^{3 x}}$

Langkah 8.3.5.5

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $C$ .

$y = \frac{\frac{6 e^{3 x} x - 2 e^{3 x} + 3 C}{3}}{e^{3 x}}$

Langkah 8.3.6

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{6 e^{3 x} x - 2 e^{3 x} + 3 C}{3}$ .

$y = \frac{\frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 3 C}{3}}{e^{3 x}}$

Langkah 8.3.7

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y = \frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 3 C}{3} \cdot \frac{1}{e^{3 x}}$

Langkah 8.3.8

Kalikan $\frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 3 C}{3}$ dengan $\frac{1}{e^{3 x}}$ .

$y = \frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 3 C}{3 e^{3 x}}$