Kalkulus Contoh

$2 x (y d) x + (x^{2} - 1) d y = 0$

Langkah 1

Kurangkan $2 x y d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$(x^{2} - 1) d y = - 2 x y d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{(x^{2} - 1) y}$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 1) y} (x^{2} - 1) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) y} (- 2 x y) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $x^{2} - 1$ dari $(x^{2} - 1) y$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 1) (y)} (x^{2} - 1) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) y} (- 2 x y) d x$

Langkah 3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{(x^{2} - 1) y} (x^{2} - 1) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) y} (- 2 x y) d x$

Langkah 3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) y} (- 2 x y) d x$

Langkah 3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{(x^{2} - 1) y} (x y) d x$

Langkah 3.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{(x^{2} - 1^{2}) y} (x y) d x$

Langkah 3.3.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{(x + 1) (x - 1) y} (x y) d x$

Langkah 3.4

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{(x + 1) (x - 1) y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{(x + 1) (x - 1) y} (x y) d x$

Langkah 3.5

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Faktorkan $y$ dari $(x + 1) (x - 1) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y ((x + 1) (x - 1))} (x y) d x$

Langkah 3.5.2

Faktorkan $y$ dari $x y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y ((x + 1) (x - 1))} (y x) d x$

Langkah 3.5.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y ((x + 1) (x - 1))} (y x) d x$

Langkah 3.5.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{(x + 1) (x - 1)} x d x$

Langkah 3.6

Gabungkan $\frac{- 2}{(x + 1) (x - 1)}$ dan $x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Langkah 3.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Langkah 4.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Langkah 4.3.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x)$

Langkah 4.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Langkah 4.3.4

Biarkan $u = (x + 1) (x - 1)$ . Kemudian $d u = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Biarkan $u = (x + 1) (x - 1)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1.1

Diferensialkan $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]$

Langkah 4.3.4.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x + 1$ dan $g (x) = x - 1$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 4.3.4.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 4.3.4.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 4.3.4.1.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 4.3.4.1.3.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1.3.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 4.3.4.1.3.4.2

Kalikan $x + 1$ dengan $1$ .

$x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 4.3.4.1.3.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 4.3.4.1.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 4.3.4.1.3.7

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + 0)$

Langkah 4.3.4.1.3.8

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1.3.8.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$x + 1 + (x - 1) \cdot 1$

Langkah 4.3.4.1.3.8.2

Kalikan $x - 1$ dengan $1$ .

$x + 1 + x - 1$

Langkah 4.3.4.1.3.8.3

Tambahkan $x$ dan $x$ .

$2 x + 1 - 1$

Langkah 4.3.4.1.3.8.4

Sederhanakan dengan mengurangkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1.3.8.4.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$2 x + 0$

Langkah 4.3.4.1.3.8.4.2

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 x$

Langkah 4.3.4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 4.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Langkah 4.3.5.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Langkah 4.3.6

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Langkah 4.3.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.7.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 4.3.7.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.7.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 4.3.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.7.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 4.3.7.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 4.3.7.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 4.3.7.2.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 4.3.8

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

Langkah 4.3.9

Sederhanakan.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

Langkah 4.3.10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $(x + 1) (x - 1)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C_{2}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = - \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| y |) + \ln (| (x + 1) (x - 1) |) = C$

Langkah 5.2

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | (x + 1) (x - 1) |) = C$

Langkah 5.3

Perluas $(x + 1) (x - 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| y | | x (x - 1) + 1 (x - 1) |) = C$

Langkah 5.3.2

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| y | | x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |) = C$

Langkah 5.3.3

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| y | | x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |) = C$

Langkah 5.4

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\ln (| y | | x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |) = C$

Langkah 5.4.1.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x$ .

$\ln (| y | | x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |) = C$

Langkah 5.4.1.3

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$\ln (| y | | x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |) = C$

Langkah 5.4.1.4

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\ln (| y | | x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |) = C$

Langkah 5.4.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\ln (| y | | x^{2} - x + x - 1 |) = C$

Langkah 5.4.2

Tambahkan $- x$ dan $x$ .

$\ln (| y | | x^{2} + 0 - 1 |) = C$

Langkah 5.4.3

Tambahkan $x^{2}$ dan $0$ .

$\ln (| y | | x^{2} - 1 |) = C$

Langkah 5.5

Untuk mengalikan nilai-nilai mutlak, kalikan suku-suku di dalam masing-masing nilai mutlaknya.

$\ln (| y (x^{2} - 1) |) = C$

Langkah 5.6

Sederhanakan dengan mengalikan semuanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| y x^{2} + y \cdot - 1 |) = C$

Langkah 5.6.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $y$ .

$\ln (| y x^{2} - 1 \cdot y |) = C$

Langkah 5.7

Tulis kembali $- 1 y$ sebagai $- y$ .

$\ln (| y x^{2} - y |) = C$

Langkah 5.8

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| y x^{2} - y |)} = e^{C}$

Langkah 5.9

Tulis kembali $\ln (| y x^{2} - y |) = C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y x^{2} - y |$

Langkah 5.10

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| y x^{2} - y | = e^{C}$ .

$| y x^{2} - y | = e^{C}$

Langkah 5.10.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y x^{2} - y = \pm e^{C}$

Langkah 5.10.3

Faktorkan $y$ dari $y x^{2} - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.3.1

Faktorkan $y$ dari $y x^{2}$ .

$y (x^{2}) - y = \pm e^{C}$

Langkah 5.10.3.2

Faktorkan $y$ dari $- y$ .

$y (x^{2}) + y \cdot - 1 = \pm e^{C}$

Langkah 5.10.3.3

Faktorkan $y$ dari $y (x^{2}) + y \cdot - 1$ .

$y (x^{2} - 1) = \pm e^{C}$

Langkah 5.10.4

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$y (x^{2} - 1^{2}) = \pm e^{C}$

Langkah 5.10.5

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.5.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$y ((x + 1) (x - 1)) = \pm e^{C}$

Langkah 5.10.5.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$y (x + 1) (x - 1) = \pm e^{C}$

Langkah 5.10.6

Bagi setiap suku pada $y (x + 1) (x - 1) = \pm e^{C}$ dengan $(x + 1) (x - 1)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.6.1

Bagilah setiap suku di $y (x + 1) (x - 1) = \pm e^{C}$ dengan $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{y (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 1) (x - 1)}$

Langkah 5.10.6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 1) (x - 1)}$

Langkah 5.10.6.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 1) (x - 1)}$

Langkah 5.10.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.6.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 1) (x - 1)}$

Langkah 5.10.6.2.2.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{(x + 1) (x - 1)}$

Langkah 6

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{C}{(x + 1) (x - 1)}$