Kalkulus Contoh

$(2 x^{2} y + 2 x) \frac{d y}{d x} + 2 x y^{2} + 2 y = 0$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Selesaikan $\frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$2 x^{2} y \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + 2 x y^{2} + 2 y = 0$

Langkah 1.1.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d y}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Kurangkan $2 x y^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x^{2} y \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + 2 y = - 2 x y^{2}$

Langkah 1.1.2.2

Kurangkan $2 y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x^{2} y \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} = - 2 x y^{2} - 2 y$

Langkah 1.1.3

Faktorkan $2 x \frac{d y}{d x}$ dari $2 x^{2} y \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Faktorkan $2 x \frac{d y}{d x}$ dari $2 x^{2} y \frac{d y}{d x}$ .

$2 x \frac{d y}{d x} (x y) + 2 x \frac{d y}{d x} = - 2 x y^{2} - 2 y$

Langkah 1.1.3.2

Faktorkan $2 x \frac{d y}{d x}$ dari $2 x \frac{d y}{d x}$ .

$2 x \frac{d y}{d x} (x y) + 2 x \frac{d y}{d x} \cdot 1 = - 2 x y^{2} - 2 y$

Langkah 1.1.3.3

Faktorkan $2 x \frac{d y}{d x}$ dari $2 x \frac{d y}{d x} (x y) + 2 x \frac{d y}{d x} \cdot 1$ .

$2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1) = - 2 x y^{2} - 2 y$

Langkah 1.1.4

Bagi setiap suku pada $2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1) = - 2 x y^{2} - 2 y$ dengan $2 x (x y + 1)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Bagilah setiap suku di $2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1) = - 2 x y^{2} - 2 y$ dengan $2 x (x y + 1)$ .

$\frac{2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1)}{2 x (x y + 1)} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Langkah 1.1.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1)}{2 x (x y + 1)} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Langkah 1.1.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x \frac{d y}{d x} (x y + 1)}{x (x y + 1)} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Langkah 1.1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d y}{d x} (x y + 1)}{x (x y + 1)} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Langkah 1.1.4.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x y + 1)}{x y + 1} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Langkah 1.1.4.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x y + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x y + 1)}{x y + 1} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Langkah 1.1.4.2.3.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Langkah 1.1.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.3.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (- x y^{2})}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Langkah 1.1.4.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.3.1.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 x (x y + 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (- x y^{2})}{2 (x (x y + 1))} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Langkah 1.1.4.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (- x y^{2})}{2 (x (x y + 1))} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Langkah 1.1.4.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y^{2}}{x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Langkah 1.1.4.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y^{2}}{x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Langkah 1.1.4.3.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1 y^{2}}{x y + 1} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Langkah 1.1.4.3.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Langkah 1.1.4.3.1.4

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.3.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 y$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{2 (- y)}{2 x (x y + 1)}$

Langkah 1.1.4.3.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.3.1.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 x (x y + 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{2 (- y)}{2 (x (x y + 1))}$

Langkah 1.1.4.3.1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{2 (- y)}{2 (x (x y + 1))}$

Langkah 1.1.4.3.1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{- y}{x (x y + 1)}$

Langkah 1.1.4.3.1.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} - \frac{y}{x (x y + 1)}$

Langkah 1.1.4.3.2

Untuk menuliskan $- \frac{y^{2}}{x y + 1}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y}{x (x y + 1)}$

Langkah 1.1.4.3.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $(x y + 1) x$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.3.3.1

Kalikan $\frac{y^{2}}{x y + 1}$ dengan $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} x}{(x y + 1) x} - \frac{y}{x (x y + 1)}$

Langkah 1.1.4.3.3.2

Susun kembali faktor-faktor dari $(x y + 1) x$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} x}{x (x y + 1)} - \frac{y}{x (x y + 1)}$

Langkah 1.1.4.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y^{2} x - y}{x (x y + 1)}$

Langkah 1.1.4.3.5

Faktorkan $y$ dari $- y^{2} x - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.3.5.1

Faktorkan $y$ dari $- y^{2} x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y x) - y}{x (x y + 1)}$

Langkah 1.1.4.3.5.2

Faktorkan $y$ dari $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y x) + y \cdot - 1}{x (x y + 1)}$

Langkah 1.1.4.3.5.3

Faktorkan $y$ dari $y (- y x) + y \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y x - 1)}{x (x y + 1)}$

Langkah 1.1.4.3.6

Hapus faktor persekutuan dari $- y x - 1$ dan $x y + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.3.6.1

Faktorkan $- 1$ dari $- y x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- (y x) - 1)}{x (x y + 1)}$

Langkah 1.1.4.3.6.2

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- (y x) - 1 (1))}{x (x y + 1)}$

Langkah 1.1.4.3.6.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (y x) - 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- (y x + 1))}{x (x y + 1)}$

Langkah 1.1.4.3.6.4

Tulis kembali $- (y x + 1)$ sebagai $- 1 (y x + 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (y x + 1))}{x (x y + 1)}$

Langkah 1.1.4.3.6.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (x y + 1))}{x (x y + 1)}$

Langkah 1.1.4.3.6.6

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (x y + 1))}{x (x y + 1)}$

Langkah 1.1.4.3.6.7

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot (- 1)}{x}$

Langkah 1.1.4.3.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.3.7.1

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1 \cdot y}{x}$

Langkah 1.1.4.3.7.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$

Langkah 1.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{y}{x})$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Langkah 1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{y}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Langkah 1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Langkah 1.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x}$

Langkah 1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{x} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.3.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = - \ln (| x |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| y |) + \ln (| x |) = C$

Langkah 3.2

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | x |) = C$

Langkah 3.3

Untuk mengalikan nilai-nilai mutlak, kalikan suku-suku di dalam masing-masing nilai mutlaknya.

$\ln (| y x |) = C$

Langkah 3.4

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| y x |)} = e^{C}$

Langkah 3.5

Tulis kembali $\ln (| y x |) = C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y x |$

Langkah 3.6

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| y x | = e^{C}$ .

$| y x | = e^{C}$

Langkah 3.6.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y x = \pm e^{C}$

Langkah 3.6.3

Bagi setiap suku pada $y x = \pm e^{C}$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.3.1

Bagilah setiap suku di $y x = \pm e^{C}$ dengan $x$ .

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x}$

Langkah 3.6.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x}$

Langkah 3.6.3.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{x}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{C}{x}$