Kalkulus Contoh

$(x - y^{3} + y^{2} \sin (x)) d x = (3 x y^{2} + 2 y \cos (x)) d y$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial agar sesuai dengan teknik persamaan diferensial Eksak.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $(3 x y^{2} + 2 y \cos (x)) d y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$(x - y^{3} + y^{2} \sin (x)) d x - (3 x y^{2} + 2 y \cos (x)) d y = 0$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - y^{3} + y^{2} \sin (x)]$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$

Langkah 2.2.2

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- y^{3}$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 y^{2} + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $\sin (x)$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $y^{2} \sin (x)$ terhadap $y$ adalah $\sin (x) \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 y^{2} + \sin (x) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 y^{2} + \sin (x) (2 y)$

Langkah 2.4.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\sin (x)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 y^{2} + 2 \sin (x) y$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Kurangi $3 y^{2}$ dengan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3 y^{2} + 2 \sin (x) y$

Langkah 2.5.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$

Langkah 3

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = - (3 x y^{2} + 2 y \cos (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (3 x y^{2} + 2 y \cos (x))]$

Langkah 3.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- (3 x y^{2} + 2 y \cos (x))$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [3 x y^{2} + 2 y \cos (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [3 x y^{2} + 2 y \cos (x)]$

Langkah 3.2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x y^{2} + 2 y \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y \cos (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y \cos (x)])$

Langkah 3.2.3

Karena $3 y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x y^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y \cos (x)])$

Langkah 3.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y \cos (x)])$

Langkah 3.2.5

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} + \frac{d}{d x} [2 y \cos (x)])$

Langkah 3.2.6

Karena $2 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 y \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $2 y \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} + 2 y \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Langkah 3.3

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} + 2 y (- \sin (x)))$

Langkah 3.4

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} - 2 y \sin (x))$

Langkah 3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2}) - (- 2 y \sin (x))$

Langkah 3.5.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 y^{2} - (- 2 y \sin (x))$

Langkah 3.5.2.2

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$

Langkah 4

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $- 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $- 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 3 y^{2} + 2 y \sin (x) = - 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$

Langkah 4.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$- 3 y^{2} + 2 y \sin (x) = - 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$ adalah identitas.

Langkah 5

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (3 x y^{2} + 2 y \cos (x)) d y$

Langkah 6

Integralkan $N (x, y) = - (3 x y^{2} + 2 y \cos (x))$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$f (x, y) = - \int 3 x y^{2} + 2 y \cos (x) d y$

Langkah 6.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = - (\int 3 x y^{2} d y + \int 2 y \cos (x) d y)$

Langkah 6.3

Karena $3 x$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $3 x$ keluar dari integral.

$f (x, y) = - (3 x \int y^{2} d y + \int 2 y \cos (x) d y)$

Langkah 6.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = - (3 x (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int 2 y \cos (x) d y)$

Langkah 6.5

Karena $2 \cos (x)$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2 \cos (x)$ keluar dari integral.

$f (x, y) = - (3 x (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 2 \cos (x) \int y d y)$

Langkah 6.6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (3 x (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 2 \cos (x) (\frac{1}{2} y^{2} + C))$

Langkah 6.7

Sederhanakan.

$f (x, y) = - (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + C$

Langkah 7

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = - (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + g (x)$

Langkah 8

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Langkah 9

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Langkah 9.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- (x y^{3} + \cos (x) y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- (x y^{3} + \cos (x) y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Langkah 9.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- (x y^{3} + \cos (x) y^{2})]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- (x y^{3} + \cos (x) y^{2})$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x y^{3} + \cos (x) y^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y^{3} + \cos (x) y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Langkah 9.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x y^{3} + \cos (x) y^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [\cos (x) y^{2}]$ .

$- (\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [\cos (x) y^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Langkah 9.3.3

Karena $y^{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x y^{3}$ terhadap $x$ adalah $y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x) y^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Langkah 9.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- (y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cos (x) y^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Langkah 9.3.5

Karena $y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\cos (x) y^{2}$ terhadap $x$ adalah $y^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- (y^{3} \cdot 1 + y^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Langkah 9.3.6

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$- (y^{3} \cdot 1 + y^{2} (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Langkah 9.3.7

Kalikan $y^{3}$ dengan $1$ .

$- (y^{3} + y^{2} (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Langkah 9.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$- (y^{3} + y^{2} (- \sin (x))) + \frac{d g}{d x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Langkah 9.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.5.1

Terapkan sifat distributif.

$- y^{3} - (y^{2} (- \sin (x))) + \frac{d g}{d x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Langkah 9.5.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.5.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- y^{3} + 1 (y^{2} (\sin (x))) + \frac{d g}{d x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Langkah 9.5.2.2

Kalikan $y^{2}$ dengan $1$ .

$- y^{3} + y^{2} \sin (x) + \frac{d g}{d x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Langkah 9.5.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} - y^{3} + y^{2} \sin (x) = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Langkah 10

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Tambahkan $y^{3}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} \sin (x) = x - y^{3} + y^{2} \sin (x) + y^{3}$

Langkah 10.1.2

Kurangkan $y^{2} \sin (x)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x) + y^{3} - y^{2} \sin (x)$

Langkah 10.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $x - y^{3} + y^{2} \sin (x) + y^{3} - y^{2} \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.3.1

Tambahkan $- y^{3}$ dan $y^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} = x + y^{2} \sin (x) + 0 - y^{2} \sin (x)$

Langkah 10.1.3.2

Tambahkan $x + y^{2} \sin (x)$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x + y^{2} \sin (x) - y^{2} \sin (x)$

Langkah 10.1.3.3

Kurangi $y^{2} \sin (x)$ dengan $y^{2} \sin (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Langkah 10.1.3.4

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Langkah 11

Temukan $x$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Langkah 11.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Langkah 11.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 12

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = - (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + g (x)$ .

$f (x, y) = - (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 13

Sederhanakan $f (x, y) = - (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Terapkan sifat distributif.

$f (x, y) = - (x y^{3}) - (\cos (x) y^{2}) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 13.1.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = - x y^{3} - \cos (x) y^{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$

Langkah 13.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $f (x, y) = - x y^{3} - \cos (x) y^{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$ .

$f (x, y) = - x y^{3} - y^{2} \cos (x) + \frac{x^{2}}{2} + C$