Kalkulus Contoh

\frac{d y}{d x} = x y^{3}

$\frac{d y}{d x} = x y^{3}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan

\frac{1}{y^{3}}

$\frac{1}{y^{3}}$ .

\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (x y^{3})

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (x y^{3})$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari

y^{3}

$y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan

y^{3}

$y^{3}$ dari

x y^{3}

$x y^{3}$ .

\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} x)

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} x)$

Langkah 1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} x)$

Langkah 1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = x$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y^{3}} d y = x d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y^{3}} d y = \int x d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Pindahkan

$y^{3}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat

$- 1$ .

$\int {(y^{3})}^{- 1} d y = \int x d x$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan eksponen dalam

${(y^{3})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{3 \cdot - 1} d y = \int x d x$

Langkah 2.2.1.2.2

Kalikan

$3$ dengan

$- 1$ .

$\int y^{- 3} d y = \int x d x$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari

$y^{- 3}$ terhadap

$y$ adalah

$- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} = \int x d x$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Tulis kembali

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1}$ sebagai

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1} = \int x d x$

Langkah 2.2.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.2.1

Kalikan

$\frac{1}{y^{2}}$ dengan

$\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int x d x$

Langkah 2.2.3.2.2

Pindahkan

$2$ ke sebelah kiri

$y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int x d x$

Langkah 2.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari

$x$ terhadap

$x$ adalah

$\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai

$K$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Langkah 3

Selesaikan

$y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan

$\frac{1}{2}$ dan

$x^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{x^{2}}{2} + K$

Langkah 3.2

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$2 y^{2}, 2, 1$

Langkah 3.2.2

Karena

$2 y^{2}, 2, 1$ memiliki bilangan dan variabel, ada dua langkah untuk menemukan KPK. Temukan KPK untuk bagian numerik

$2, 2, 1$ kemudian temukan KPK untuk bagian variabel

$y^{2}$ .

Langkah 3.2.3

KPK-nya adalah bilangan positif terkecil yang semua bilangannya dibagi secara merata.

1. Sebutkan faktor prima dari masing-masing bilangan.

2. Kalikan masing-masing faktor dengan jumlah terbesar dari kedua bilangan tersebut.

Langkah 3.2.4

Karena

$2$ tidak memiliki faktor selain

$1$ dan

$2$ .

$2$ adalah bilangan prima

Langkah 3.2.5

Bilangan

$1$ bukan bilangan prima karena bilangan tersebut hanya memiliki satu faktor positif, yaitu bilangan itu sendiri.

Bukan bilangan prima

Langkah 3.2.6

KPK dari

$2, 2, 1$ adalah hasil perkalian semua faktor prima yang paling banyak muncul pada kedua bilangan tersebut.

$2$

Langkah 3.2.7

Faktor-faktor untuk

$y^{2}$ adalah

$y \cdot y$ , yaitu

$y$ dikalikan satu sama lain

$2$ kali.

$y^{2} = y \cdot y$

$y$ terjadi

$2$ kali.

Langkah 3.2.8

KPK dari

$y^{2}$ adalah hasil dari mengalikan semua faktor prima dengan frekuensi terbanyak yang muncul pada kedua pernyataan tersebut.

$y \cdot y$

Langkah 3.2.9

Kalikan

$y$ dengan

$y$ .

$y^{2}$

Langkah 3.2.10

KPK untuk

$2 y^{2}, 2, 1$ adalah bagian bilangan

$2$ dikalikan dengan bagian variabel.

$2 y^{2}$

Langkah 3.3

Kalikan setiap suku pada

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{x^{2}}{2} + K$ dengan

$2 y^{2}$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kalikan setiap suku dalam

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{x^{2}}{2} + K$ dengan

$2 y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = \frac{x^{2}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari

$2 y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada

$- \frac{1}{2 y^{2}}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = \frac{x^{2}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Langkah 3.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = \frac{x^{2}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Langkah 3.3.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 = \frac{x^{2}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- 1 = 2 \frac{x^{2}}{2} y^{2} + K (2 y^{2})$

Langkah 3.3.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- 1 = 2 \frac{x^{2}}{2} y^{2} + K (2 y^{2})$

Langkah 3.3.3.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 = x^{2} y^{2} + K (2 y^{2})$

Langkah 3.3.3.1.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- 1 = x^{2} y^{2} + 2 K y^{2}$

Langkah 3.4

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai

$x^{2} y^{2} + 2 K y^{2} = - 1$ .

$x^{2} y^{2} + 2 K y^{2} = - 1$

Langkah 3.4.2

Faktorkan

$y^{2}$ dari

$x^{2} y^{2} + 2 K y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Faktorkan

$y^{2}$ dari

$x^{2} y^{2}$ .

$y^{2} x^{2} + 2 K y^{2} = - 1$

Langkah 3.4.2.2

Faktorkan

$y^{2}$ dari

$2 K y^{2}$ .

$y^{2} x^{2} + y^{2} (2 K) = - 1$

Langkah 3.4.2.3

Faktorkan

$y^{2}$ dari

$y^{2} x^{2} + y^{2} (2 K)$ .

$y^{2} (x^{2} + 2 K) = - 1$

Langkah 3.4.3

Bagi setiap suku pada

$y^{2} (x^{2} + 2 K) = - 1$ dengan

$x^{2} + 2 K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Bagilah setiap suku di

$y^{2} (x^{2} + 2 K) = - 1$ dengan

$x^{2} + 2 K$ .

$\frac{y^{2} (x^{2} + 2 K)}{x^{2} + 2 K} = \frac{- 1}{x^{2} + 2 K}$

Langkah 3.4.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari

$x^{2} + 2 K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y^{2} (x^{2} + 2 K)}{x^{2} + 2 K} = \frac{- 1}{x^{2} + 2 K}$

Langkah 3.4.3.2.1.2

Bagilah

$y^{2}$ dengan

$1$ .

$y^{2} = \frac{- 1}{x^{2} + 2 K}$

Langkah 3.4.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y^{2} = - \frac{1}{x^{2} + 2 K}$

Langkah 3.4.4

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

Langkah 3.4.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari

$\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

Langkah 3.4.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari

$\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

Langkah 3.4.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + K}}$