Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y}$ if $y (0) = 3$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2}}{y}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2}}{y}$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$y d y = x^{2} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y d y = \int x^{2} d x$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Langkah 2.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + K)$

Langkah 3.2.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.3

Gabungkan $2$ dan $\frac{x^{3}}{3}$ .

$y^{2} = \frac{2 x^{3}}{3} + 2 K$

Langkah 3.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} + 2 K}$

Langkah 3.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} + 2 K}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Faktorkan $2$ dari $\frac{2 x^{3}}{3} + 2 K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Faktorkan $2$ dari $\frac{2 x^{3}}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K}$

Langkah 3.4.1.2

Faktorkan $2$ dari $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K}$

Langkah 3.4.1.3

Faktorkan $2$ dari $2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{3}}{3} + K)}$

Langkah 3.4.2

Untuk menuliskan $K$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{3}}{3} + K \cdot \frac{3}{3})}$

Langkah 3.4.3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Gabungkan $K$ dan $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{3}}{3} + \frac{K \cdot 3}{3})}$

Langkah 3.4.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3} + K \cdot 3}{3}}$

Langkah 3.4.4

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3} + 3 K}{3}}$

Langkah 3.4.5

Gabungkan $2$ dan $\frac{x^{3} + 3 K}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x^{3} + 3 K)}{3}}$

Langkah 3.4.6

Tulis kembali $\sqrt{\frac{2 (x^{3} + 3 K)}{3}}$ sebagai $\frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$

Langkah 3.4.7

Kalikan $\frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Langkah 3.4.8

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.8.1

Kalikan $\frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Langkah 3.4.8.2

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Langkah 3.4.8.3

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Langkah 3.4.8.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Langkah 3.4.8.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Langkah 3.4.8.6

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.8.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 3.4.8.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 3.4.8.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.4.8.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.8.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.4.8.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Langkah 3.4.8.6.5

Evaluasi eksponennya.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3}$

Langkah 3.4.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.9.1

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K) \cdot 3}}{3}$

Langkah 3.4.9.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

Langkah 3.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

Langkah 3.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

Langkah 3.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + K)}}{3}$

Langkah 5

Karena $y$ positif pada sarat awal $(0, 3)$ , hanya pertimbangkan $y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + K)}}{3}$ untuk menentukan $K$ . Substitusikan $0$ untuk $x$ dan $3$ untuk $y$ .

$3 = \frac{\sqrt{6 (0^{3} + K)}}{3}$

Langkah 6

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{\sqrt{6 (0^{3} + K)}}{3} = 3$ .

$\frac{\sqrt{6 (0^{3} + K)}}{3} = 3$

Langkah 6.2

Kalikan kedua ruas dengan $3$ .

$\frac{\sqrt{6 (0^{3} + K)}}{3} \cdot 3 = 3 \cdot 3$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1

Sederhanakan $\frac{\sqrt{6 (0^{3} + K)}}{3} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{\sqrt{6 (0 + K)}}{3} \cdot 3 = 3 \cdot 3$

Langkah 6.3.1.1.1.2

Tambahkan $0$ dan $K$ .

$\frac{\sqrt{6 K}}{3} \cdot 3 = 3 \cdot 3$

Langkah 6.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{6 K}}{3} \cdot 3 = 3 \cdot 3$

Langkah 6.3.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt{6 K} = 3 \cdot 3$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\sqrt{6 K} = 9$

Langkah 6.4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${\sqrt{6 K}}^{2} = 9^{2}$

Langkah 6.4.2

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{6 K}$ sebagai ${(6 K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(6 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 9^{2}$

Langkah 6.4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.2.1

Sederhanakan ${({(6 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(6 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^{2}$

Langkah 6.4.2.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(6 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^{2}$

Langkah 6.4.2.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(6 K)}^{1} = 9^{2}$

Langkah 6.4.2.2.1.2

Sederhanakan.

$6 K = 9^{2}$

Langkah 6.4.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.3.1

Naikkan $9$ menjadi pangkat $2$ .

$6 K = 81$

Langkah 6.4.3

Bagi setiap suku pada $6 K = 81$ dengan $6$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.3.1

Bagilah setiap suku di $6 K = 81$ dengan $6$ .

$\frac{6 K}{6} = \frac{81}{6}$

Langkah 6.4.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{6 K}{6} = \frac{81}{6}$

Langkah 6.4.3.2.1.2

Bagilah $K$ dengan $1$ .

$K = \frac{81}{6}$

Langkah 6.4.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.3.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $81$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.3.3.1.1

Faktorkan $3$ dari $81$ .

$K = \frac{3 (27)}{6}$

Langkah 6.4.3.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.3.3.1.2.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$K = \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 2}$

Langkah 6.4.3.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$K = \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 2}$

Langkah 6.4.3.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$K = \frac{27}{2}$

Langkah 7

Substitusikan $\frac{27}{2}$ untuk $K$ dalam $y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + K)}}{3}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Substitusikan $\frac{27}{2}$ untuk $K$ .

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + \frac{27}{2})}}{3}$

Langkah 7.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Untuk menuliskan $x^{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{27}{2})}}{3}$

Langkah 7.2.2

Gabungkan $x^{3}$ dan $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{6 (\frac{x^{3} \cdot 2}{2} + \frac{27}{2})}}{3}$

Langkah 7.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{\sqrt{6 \frac{x^{3} \cdot 2 + 27}{2}}}{3}$

Langkah 7.2.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{3}$ .

$y = \frac{\sqrt{6 \frac{2 x^{3} + 27}{2}}}{3}$

Langkah 7.2.5

Gabungkan $6$ dan $\frac{2 x^{3} + 27}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{\frac{6 (2 x^{3} + 27)}{2}}}{3}$

Langkah 7.2.6

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.6.1

Kurangi pernyataan $\frac{6 (2 x^{3} + 27)}{2}$ dengan membatalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.6.1.1

Faktorkan $2$ dari $6 (2 x^{3} + 27)$ .

$y = \frac{\sqrt{\frac{2 (3 (2 x^{3} + 27))}{2}}}{3}$

Langkah 7.2.6.1.2

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$y = \frac{\sqrt{\frac{2 (3 (2 x^{3} + 27))}{2 (1)}}}{3}$

Langkah 7.2.6.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{\sqrt{\frac{2 (3 (2 x^{3} + 27))}{2 \cdot 1}}}{3}$

Langkah 7.2.6.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{\sqrt{\frac{3 (2 x^{3} + 27)}{1}}}{3}$

Langkah 7.2.6.2

Bagilah $3 (2 x^{3} + 27)$ dengan $1$ .

$y = \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} + 27)}}{3}$