Kalkulus Contoh

$(y^{2} - 2 x y + 6 x) d x - (x^{2} - 2 x y + 2) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = y^{2} - 2 x y + 6 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 x y + 6 x]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{2} - 2 x y + 6 x$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [6 x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- 2 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- 2 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 2 x y$ terhadap $y$ adalah $- 2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [6 x]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x + \frac{d}{d y} [6 x]$

Langkah 1.4

Karena $6 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $6 x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x + 0$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Tambahkan $2 y - 2 x$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x$

Langkah 1.5.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x + 2 y$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = - (x^{2} - 2 x y + 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 2 x y + 2)]$

Langkah 2.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- (x^{2} - 2 x y + 2)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x y + 2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x y + 2]$

Langkah 2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 2 x y + 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [2])$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [2])$

Langkah 2.5

Karena $- 2 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x y$ terhadap $x$ adalah $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x - 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Langkah 2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x - 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Langkah 2.7

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x - 2 y + \frac{d}{d x} [2])$

Langkah 2.8

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x - 2 y + 0)$

Langkah 2.9

Tambahkan $2 x - 2 y$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x - 2 y)$

Langkah 2.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x) - (- 2 y)$

Langkah 2.10.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.2.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x - (- 2 y)$

Langkah 2.10.2.2

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x + 2 y$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $- 2 x + 2 y$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $- 2 x + 2 y$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x + 2 y = - 2 x + 2 y$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$- 2 x + 2 y = - 2 x + 2 y$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (x^{2} - 2 x y + 2) d y$

Langkah 5

Integralkan $N (x, y) = - (x^{2} - 2 x y + 2)$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$f (x, y) = - \int x^{2} - 2 x y + 2 d y$

Langkah 5.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = - (\int x^{2} d y + \int - 2 x y d y + \int 2 d y)$

Langkah 5.3

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = - (x^{2} y + C + \int - 2 x y d y + \int 2 d y)$

Langkah 5.4

Karena $- 2 x$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 2 x$ keluar dari integral.

$f (x, y) = - (x^{2} y + C - 2 x \int y d y + \int 2 d y)$

Langkah 5.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (x^{2} y + C - 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int 2 d y)$

Langkah 5.6

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = - (x^{2} y + C - 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C) + 2 y + C)$

Langkah 5.7

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (x^{2} y + C - 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + 2 y + C)$

Langkah 5.8

Sederhanakan.

$f (x, y) = - (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + C$

Langkah 6

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = - (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + g (x)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y^{2} - 2 x y + 6 x$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6 x$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6 x$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2} y - x y^{2} + 2 y]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2} y - x y^{2} + 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6 x$

Langkah 8.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} y - x y^{2} + 2 y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$- (\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6 x$

Langkah 8.3.3

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x^{2} y$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- (y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6 x$

Langkah 8.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- (y (2 x) + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6 x$

Langkah 8.3.5

Karena $- y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x y^{2}$ terhadap $x$ adalah $- y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (y (2 x) - y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6 x$

Langkah 8.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- (y (2 x) - y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6 x$

Langkah 8.3.7

Karena $2 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- (y (2 x) - y^{2} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6 x$

Langkah 8.3.8

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y$ .

$- (2 \cdot y x - y^{2} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6 x$

Langkah 8.3.9

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- (2 y x - y^{2} + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6 x$

Langkah 8.3.10

Tambahkan $2 y x - y^{2}$ dan $0$ .

$- (2 y x - y^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6 x$

Langkah 8.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$- (2 y x - y^{2}) + \frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6 x$

Langkah 8.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Terapkan sifat distributif.

$- (2 y x) - - y^{2} + \frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6 x$

Langkah 8.5.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.2.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 (y x) - - y^{2} + \frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6 x$

Langkah 8.5.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- 2 y x + 1 y^{2} + \frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6 x$

Langkah 8.5.2.3

Kalikan $y^{2}$ dengan $1$ .

$- 2 y x + y^{2} + \frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6 x$

Langkah 8.5.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} - 2 x y = y^{2} - 2 x y + 6 x$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kurangkan $y^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y = y^{2} - 2 x y + 6 x - y^{2}$

Langkah 9.1.2

Tambahkan $2 x y$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6 x - y^{2} + 2 x y$

Langkah 9.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $y^{2} - 2 x y + 6 x - y^{2} + 2 x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.1

Kurangi $y^{2}$ dengan $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 x y + 6 x + 0 + 2 x y$

Langkah 9.1.3.2

Tambahkan $- 2 x y + 6 x$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 x y + 6 x + 2 x y$

Langkah 9.1.3.3

Tambahkan $- 2 x y$ dan $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x + 0$

Langkah 9.1.3.4

Tambahkan $6 x$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x$

Langkah 10

Temukan $6 x$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = 6 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 6 x d x$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 6 x d x$

Langkah 10.3

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $6$ keluar dari integral.

$g (x) = 6 \int x d x$

Langkah 10.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 10.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1

Tulis kembali $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ sebagai $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Langkah 10.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.2.1

Gabungkan $6$ dan $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{6}{2} x^{2} + C$

Langkah 10.5.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C$

Langkah 10.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C$

Langkah 10.5.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Langkah 10.5.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$g (x) = \frac{3}{1} x^{2} + C$

Langkah 10.5.2.2.2.4

Bagilah $3$ dengan $1$ .

$g (x) = 3 x^{2} + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = - (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + g (x)$ .

$f (x, y) = - (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + 3 x^{2} + C$

Langkah 12

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Terapkan sifat distributif.

$f (x, y) = - (x^{2} y) - (- x y^{2}) - (2 y) + 3 x^{2} + C$

Langkah 12.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Kalikan $- (- x y^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f (x, y) = - x^{2} y + 1 (x y^{2}) - (2 y) + 3 x^{2} + C$

Langkah 12.2.1.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$f (x, y) = - x^{2} y + x y^{2} - (2 y) + 3 x^{2} + C$

Langkah 12.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f (x, y) = - x^{2} y + x y^{2} - 2 y + 3 x^{2} + C$