Kalkulus Contoh

$y e^{2 x} d x = (4 + e^{2 x}) d y$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$(4 + e^{2 x}) d y = y e^{2 x} d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{(4 + e^{2 x}) y}$ .

$\frac{1}{(4 + e^{2 x}) y} (4 + e^{2 x}) d y = \frac{1}{(4 + e^{2 x}) y} (y e^{2 x}) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4 + e^{2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $4 + e^{2 x}$ dari $(4 + e^{2 x}) y$ .

$\frac{1}{(4 + e^{2 x}) (y)} (4 + e^{2 x}) d y = \frac{1}{(4 + e^{2 x}) y} (y e^{2 x}) d x$

Langkah 3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{(4 + e^{2 x}) y} (4 + e^{2 x}) d y = \frac{1}{(4 + e^{2 x}) y} (y e^{2 x}) d x$

Langkah 3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(4 + e^{2 x}) y} (y e^{2 x}) d x$

Langkah 3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Faktorkan $y$ dari $(4 + e^{2 x}) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (4 + e^{2 x})} (y e^{2 x}) d x$

Langkah 3.2.2

Faktorkan $y$ dari $y e^{2 x}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (4 + e^{2 x})} (y (e^{2 x})) d x$

Langkah 3.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (4 + e^{2 x})} (y e^{2 x}) d x$

Langkah 3.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{4 + e^{2 x}} e^{2 x} d x$

Langkah 3.3

Gabungkan $\frac{1}{4 + e^{2 x}}$ dan $e^{2 x}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{e^{2 x}}{4 + e^{2 x}} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{e^{2 x}}{4 + e^{2 x}} d x$

Langkah 4.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{e^{2 x}}{4 + e^{2 x}} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Biarkan $u_{2} = 4 + e^{2 x}$ . Kemudian $d u_{2} = 2 e^{2 x} d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = e^{2 x} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1

Biarkan $u_{2} = 4 + e^{2 x}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1.1

Diferensialkan $4 + e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d x} [4 + e^{2 x}]$

Langkah 4.3.1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 + e^{2 x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Langkah 4.3.1.1.2.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Langkah 4.3.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $2 x$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 4.3.1.1.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$0 + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 4.3.1.1.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 x$ .

$0 + e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 4.3.1.1.3.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.3.1.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Langkah 4.3.1.1.3.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$0 + e^{2 x} \cdot 2$

Langkah 4.3.1.1.3.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{2 x}$ .

$0 + 2 e^{2 x}$

Langkah 4.3.1.1.4

Tambahkan $0$ dan $2 e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x}$

Langkah 4.3.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Kalikan $\frac{1}{u_{2}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Langkah 4.3.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Langkah 4.3.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 4.3.4

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Langkah 4.3.5

Sederhanakan.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Langkah 4.3.6

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $4 + e^{2 x}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 4 + e^{2 x} |) + C_{2}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} \ln (| 4 + e^{2 x} |) + C$