Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + 4 y = y (e^{x} + 4)$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Selesaikan $\frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Sederhanakan $y (e^{x} + 4)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Tulis kembali.

$\frac{d y}{d x} + 4 y = 0 + 0 + y (e^{x} + 4)$

Langkah 1.1.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$\frac{d y}{d x} + 4 y = y (e^{x} + 4)$

Langkah 1.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d y}{d x} + 4 y = y e^{x} + y \cdot 4$

Langkah 1.1.1.4

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $y$ .

$\frac{d y}{d x} + 4 y = y e^{x} + 4 y$

Langkah 1.1.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d y}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Kurangkan $4 y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d y}{d x} = y e^{x} + 4 y - 4 y$

Langkah 1.1.2.2

Gabungkan suku balikan dalam $y e^{x} + 4 y - 4 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Kurangi $4 y$ dengan $4 y$ .

$\frac{d y}{d x} = y e^{x} + 0$

Langkah 1.1.2.2.2

Tambahkan $y e^{x}$ dan $0$ .

$\frac{d y}{d x} = y e^{x}$

Langkah 1.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y e^{x})$

Langkah 1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Faktorkan $y$ dari $y e^{x}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (e^{x}))$

Langkah 1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y e^{x})$

Langkah 1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = e^{x}$

Langkah 1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y} d y = e^{x} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int e^{x} d x$

Langkah 2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int e^{x} d x$

Langkah 2.3

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = e^{x} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = e^{x} + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| y |)} = e^{e^{x} + C}$

Langkah 3.2

Tulis kembali $\ln (| y |) = e^{x} + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{e^{x} + C} = | y |$

Langkah 3.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| y | = e^{e^{x} + C}$ .

$| y | = e^{e^{x} + C}$

Langkah 3.3.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{e^{x} + C}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $e^{e^{x} + C}$ sebagai $e^{e^{x}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{e^{x}} e^{C}$

Langkah 4.2

Susun kembali $e^{e^{x}}$ dan $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{e^{x}}$

Langkah 4.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C e^{e^{x}}$