Kalkulus Contoh

$e^{x} \frac{d y}{d x} = 2 x$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagi setiap suku pada $e^{x} \frac{d y}{d x} = 2 x$ dengan $e^{x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Bagilah setiap suku di $e^{x} \frac{d y}{d x} = 2 x$ dengan $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d y}{d x}}{e^{x}} = \frac{2 x}{e^{x}}$

Langkah 1.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{x} \frac{d y}{d x}}{e^{x}} = \frac{2 x}{e^{x}}$

Langkah 1.1.2.1.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{e^{x}}$

Langkah 1.2

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = \frac{2 x}{e^{x}} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int \frac{2 x}{e^{x}} d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int \frac{2 x}{e^{x}} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{x}{e^{x}} d x$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tiadakan eksponen dari $e^{x}$ dan pindahkan dari penyebut.

$y + C_{1} = 2 \int x {(e^{x})}^{- 1} d x$

Langkah 2.3.2.2

Kalikan eksponen dalam ${(e^{x})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 2 \int x e^{x \cdot - 1} d x$

Langkah 2.3.2.2.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x$ .

$y + C_{1} = 2 \int x e^{- 1 \cdot x} d x$

Langkah 2.3.2.2.3

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$y + C_{1} = 2 \int x e^{- x} d x$

Langkah 2.3.3

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{- x}$ .

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Langkah 2.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Langkah 2.3.5.2

Kalikan $\int e^{- x} d x$ dengan $1$ .

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Langkah 2.3.6

Biarkan $u = - x$ . Kemudian $d u = - d x$ sehingga $- d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Biarkan $u = - x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1.1

Diferensialkan $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.3.6.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.6.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 2.3.6.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 2.3.6.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Langkah 2.3.7

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Langkah 2.3.8

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$

Langkah 2.3.9

Tulis kembali $2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$ sebagai $2 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$

Langkah 2.3.10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$y + C_{1} = 2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y = 2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$