Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x + x y^{2}}{y - x^{2} y}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $x$ dari $4 x + x y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Faktorkan $x$ dari $4 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 4 + x y^{2}}{y - x^{2} y}$

Langkah 1.1.2

Faktorkan $x$ dari $x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 4 + x (y^{2})}{y - x^{2} y}$

Langkah 1.1.3

Faktorkan $x$ dari $x \cdot 4 + x (y^{2})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot (4 + y^{2})}{y - x^{2} y}$

Langkah 1.1.4

Kalikan $x$ dengan $4 + y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (4 + y^{2})}{y - x^{2} y}$

Langkah 1.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $y$ dari $y - x^{2} y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (4 + y^{2})}{y^{1} - x^{2} y}$

Langkah 1.2.1.2

Faktorkan $y$ dari $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (4 + y^{2})}{y \cdot 1 - x^{2} y}$

Langkah 1.2.1.3

Faktorkan $y$ dari $- x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (4 + y^{2})}{y \cdot 1 + y (- x^{2})}$

Langkah 1.2.1.4

Faktorkan $y$ dari $y \cdot 1 + y (- x^{2})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (4 + y^{2})}{y \cdot (1 - x^{2})}$

Langkah 1.2.1.5

Kalikan $y$ dengan $1 - x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (4 + y^{2})}{y (1 - x^{2})}$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (4 + y^{2})}{y (1^{2} - x^{2})}$

Langkah 1.2.3

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 1$ dan $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (4 + y^{2})}{y ((1 + x) (1 - x))}$

Langkah 1.2.3.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (4 + y^{2})}{y (1 + x) (1 - x)}$

Langkah 1.3

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} \cdot \frac{4 + y^{2}}{y}$

Langkah 1.4

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{y}{4 + y^{2}}$ .

$\frac{y}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{4 + y^{2}} (\frac{x}{(1 + x) (1 - x)} \cdot \frac{4 + y^{2}}{y})$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kalikan $\frac{x}{(1 + x) (1 - x)}$ dengan $\frac{4 + y^{2}}{y}$ .

$\frac{y}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{4 + y^{2}} \cdot \frac{x (4 + y^{2})}{(1 + x) (1 - x) y}$

Langkah 1.5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Faktorkan $y$ dari $(1 + x) (1 - x) y$ .

$\frac{y}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{4 + y^{2}} \cdot \frac{x (4 + y^{2})}{y ((1 + x) (1 - x))}$

Langkah 1.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{4 + y^{2}} \cdot \frac{x (4 + y^{2})}{y ((1 + x) (1 - x))}$

Langkah 1.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 + y^{2}} \cdot \frac{x (4 + y^{2})}{(1 + x) (1 - x)}$

Langkah 1.5.3

Batalkan faktor persekutuan dari $4 + y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Faktorkan $4 + y^{2}$ dari $x (4 + y^{2})$ .

$\frac{y}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 + y^{2}} \cdot \frac{(4 + y^{2}) x}{(1 + x) (1 - x)}$

Langkah 1.5.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 + y^{2}} \cdot \frac{(4 + y^{2}) x}{(1 + x) (1 - x)}$

Langkah 1.5.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{(1 + x) (1 - x)}$

Langkah 1.6

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{y}{4 + y^{2}} d y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{y}{4 + y^{2}} d y = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u_{1} = 4 + y^{2}$ . Kemudian $d u_{1} = 2 y d y$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u_{1} = 4 + y^{2}$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Diferensialkan $4 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [4 + y^{2}]$

Langkah 2.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 + y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 2.2.1.1.3

Karena $4$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $4$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 2.2.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Langkah 2.2.1.1.5

Tambahkan $0$ dan $2 y$ .

$2 y$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Kalikan $\frac{1}{u_{1}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Langkah 2.2.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Langkah 2.2.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Langkah 2.2.4

Integral dari $\frac{1}{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Langkah 2.2.6

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $4 + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Biarkan $u_{2} = (1 + x) (1 - x)$ . Kemudian $d u_{2} = - 2 x d x$ sehingga $- \frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Biarkan $u_{2} = (1 + x) (1 - x)$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Diferensialkan $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{d}{d x} [(1 + x) (1 - x)]$

Langkah 2.3.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = 1 + x$ dan $g (x) = 1 - x$ .

$(1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x] + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Langkah 2.3.1.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Langkah 2.3.1.1.3.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$(1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Langkah 2.3.1.1.3.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 + x) \frac{d}{d x} [- x] + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Langkah 2.3.1.1.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- \frac{d}{d x} [x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Langkah 2.3.1.1.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(1 + x) (- 1 \cdot 1) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Langkah 2.3.1.1.3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.3.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$(1 + x) \cdot - 1 + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Langkah 2.3.1.1.3.6.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $1 + x$ .

$- 1 \cdot (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Langkah 2.3.1.1.3.6.3

Tulis kembali $- 1 (1 + x)$ sebagai $- (1 + x)$ .

$- (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Langkah 2.3.1.1.3.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (1 + x) + (1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.3.1.1.3.8

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- (1 + x) + (1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.3.1.1.3.9

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [x]$ .

$- (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.1.1.3.10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- (1 + x) + (1 - x) \cdot 1$

Langkah 2.3.1.1.3.11

Kalikan $1 - x$ dengan $1$ .

$- (1 + x) + 1 - x$

Langkah 2.3.1.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.4.1

Terapkan sifat distributif.

$- 1 \cdot 1 - x + 1 - x$

Langkah 2.3.1.1.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.4.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1 - x + 1 - x$

Langkah 2.3.1.1.4.2.2

Tambahkan $- 1$ dan $1$ .

$- x + 0 - x$

Langkah 2.3.1.1.4.2.3

Tambahkan $- x$ dan $0$ .

$- x - x$

Langkah 2.3.1.1.4.2.4

Kurangi $x$ dengan $- x$ .

$- 2 x$

Langkah 2.3.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Langkah 2.3.2.2

Kalikan $\frac{1}{u_{2}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + y^{2} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Langkah 2.3.2.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + y^{2} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Langkah 2.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Langkah 2.3.4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + y^{2} |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Langkah 2.3.5

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + y^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + y^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Langkah 2.3.7

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + y^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + y^{2} |) = - \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 4 + y^{2} |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} \ln (| 4 + y^{2} |))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\ln (| 4 + y^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 4 + y^{2} |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{\ln (| 4 + y^{2} |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1.1

Perluas $(1 + x) (1 - x)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 (1 - x) + x (1 - x) |) + C)$

Langkah 3.2.2.1.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) |) + C)$

Langkah 3.2.2.1.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |) + C)$

Langkah 3.2.2.1.1.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1.2.1.1

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |) + C)$

Langkah 3.2.2.1.1.2.1.2

Kalikan $- x$ dengan $1$ .

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x \cdot 1 + x (- x) |) + C)$

Langkah 3.2.2.1.1.2.1.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x + x (- x) |) + C)$

Langkah 3.2.2.1.1.2.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x - x \cdot x |) + C)$

Langkah 3.2.2.1.1.2.1.5

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1.2.1.5.1

Pindahkan $x$ .

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x - (x \cdot x) |) + C)$

Langkah 3.2.2.1.1.2.1.5.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x - x^{2} |) + C)$

Langkah 3.2.2.1.1.2.2

Tambahkan $- x$ dan $x$ .

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 0 - x^{2} |) + C)$

Langkah 3.2.2.1.1.2.3

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x^{2} |) + C)$

Langkah 3.2.2.1.1.3

Gabungkan $\ln (| 1 - x^{2} |)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 (- \frac{\ln (| 1 - x^{2} |)}{2} + C)$

Langkah 3.2.2.1.2

Untuk menuliskan $C$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 (- \frac{\ln (| 1 - x^{2} |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Langkah 3.2.2.1.3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.3.1

Gabungkan $C$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 (- \frac{\ln (| 1 - x^{2} |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Langkah 3.2.2.1.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 \frac{- \ln (| 1 - x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Langkah 3.2.2.1.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 \frac{- \ln (| 1 - x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Langkah 3.2.2.1.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| 4 + y^{2} |) = - \ln (| 1 - x^{2} |) + C \cdot 2$

Langkah 3.2.2.1.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $C$ .

$\ln (| 4 + y^{2} |) = - \ln (| 1 - x^{2} |) + 2 C$

Langkah 3.3

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| 4 + y^{2} |) + \ln (| 1 - x^{2} |) = 2 C$

Langkah 3.4

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 4 + y^{2} | | 1 - x^{2} |) = 2 C$

Langkah 3.5

Untuk mengalikan nilai-nilai mutlak, kalikan suku-suku di dalam masing-masing nilai mutlaknya.

$\ln (| (4 + y^{2}) (1 - x^{2}) |) = 2 C$

Langkah 3.6

Perluas $(4 + y^{2}) (1 - x^{2})$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| 4 (1 - x^{2}) + y^{2} (1 - x^{2}) |) = 2 C$

Langkah 3.6.2

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| 4 \cdot 1 + 4 (- x^{2}) + y^{2} (1 - x^{2}) |) = 2 C$

Langkah 3.6.3

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| 4 \cdot 1 + 4 (- x^{2}) + y^{2} \cdot 1 + y^{2} (- x^{2}) |) = 2 C$

Langkah 3.7

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$\ln (| 4 + 4 (- x^{2}) + y^{2} \cdot 1 + y^{2} (- x^{2}) |) = 2 C$

Langkah 3.7.2

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$\ln (| 4 - 4 x^{2} + y^{2} \cdot 1 + y^{2} (- x^{2}) |) = 2 C$

Langkah 3.7.3

Kalikan $y^{2}$ dengan $1$ .

$\ln (| 4 - 4 x^{2} + y^{2} + y^{2} (- x^{2}) |) = 2 C$

Langkah 3.7.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\ln (| 4 - 4 x^{2} + y^{2} - y^{2} x^{2} |) = 2 C$

Langkah 3.8

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| 4 - 4 x^{2} + y^{2} - y^{2} x^{2} |)} = e^{2 C}$

Langkah 3.9

Tulis kembali $\ln (| 4 - 4 x^{2} + y^{2} - y^{2} x^{2} |) = 2 C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = | 4 - 4 x^{2} + y^{2} - y^{2} x^{2} |$

Langkah 3.10

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| 4 - 4 x^{2} + y^{2} - y^{2} x^{2} | = e^{2 C}$ .

$| 4 - 4 x^{2} + y^{2} - y^{2} x^{2} | = e^{2 C}$

Langkah 3.10.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$4 - 4 x^{2} + y^{2} - y^{2} x^{2} = \pm e^{2 C}$

Langkah 3.10.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.3.1

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 4 x^{2} + y^{2} - y^{2} x^{2} = \pm e^{2 C} - 4$

Langkah 3.10.3.2

Tambahkan $4 x^{2}$ ke kedua sisi persamaan.

$y^{2} - y^{2} x^{2} = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

Langkah 3.10.4

Faktorkan $y^{2}$ dari $y^{2} - y^{2} x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.4.1

Kalikan dengan $1$ .

$y^{2} \cdot 1 - y^{2} x^{2} = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

Langkah 3.10.4.2

Faktorkan $y^{2}$ dari $- y^{2} x^{2}$ .

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} (- 1 x^{2}) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

Langkah 3.10.4.3

Faktorkan $y^{2}$ dari $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (- 1 x^{2})$ .

$y^{2} (1 - 1 x^{2}) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

Langkah 3.10.5

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$y^{2} (1^{2} - 1 x^{2}) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

Langkah 3.10.6

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.6.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 1$ dan $b = x$ .

$y^{2} ((1 + x) (1 - x)) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

Langkah 3.10.6.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$y^{2} (1 + x) (1 - x) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

Langkah 3.10.7

Bagi setiap suku pada $y^{2} (1 + x) (1 - x) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$ dengan $(1 + x) (1 - x)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.7.1

Bagilah setiap suku di $y^{2} (1 + x) (1 - x) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$ dengan $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{y^{2} (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Langkah 3.10.7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y^{2} (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Langkah 3.10.7.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y^{2} (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Langkah 3.10.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $1 - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.7.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y^{2} (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Langkah 3.10.7.2.2.2

Bagilah $y^{2}$ dengan $1$ .

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Langkah 3.10.7.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.7.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} - \frac{4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Langkah 3.10.8

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} - \frac{4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

Langkah 3.10.9

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} - \frac{4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.9.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C} - 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

Langkah 3.10.9.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

Langkah 3.10.9.3

Tulis kembali $\sqrt{\frac{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$ sebagai $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Langkah 3.10.9.4

Kalikan $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ dengan $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Langkah 3.10.9.5

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.9.5.1

Kalikan $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ dengan $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Langkah 3.10.9.5.2

Naikkan $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Langkah 3.10.9.5.3

Naikkan $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}}$

Langkah 3.10.9.5.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}}$

Langkah 3.10.9.5.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}$

Langkah 3.10.9.5.6

Tulis kembali ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ sebagai $(1 + x) (1 - x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.9.5.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ sebagai ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 3.10.9.5.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 3.10.9.5.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.10.9.5.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.9.5.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.10.9.5.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{1}}$

Langkah 3.10.9.5.6.5

Sederhanakan.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$

Langkah 3.10.9.6

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$y = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}) (1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \pm \frac{\sqrt{(C + 4 x^{2}) (1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$