Kalkulus Contoh

$e^{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \ln (x)}{x}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$e^{y} d y = \frac{2 \ln (x)}{x} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int e^{y} d y = \int \frac{2 \ln (x)}{x} d x$

Langkah 2.2

Integral dari $e^{y}$ terhadap $y$ adalah $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{2 \ln (x)}{x} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$e^{y} + C_{1} = 2 \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Langkah 2.3.2

Biarkan $u = \ln (x)$ . Kemudian $d u = \frac{1}{x} d x$ sehingga $x d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Biarkan $u = \ln (x)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Diferensialkan $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Langkah 2.3.2.1.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Langkah 2.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 \int u d u$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} u^{2} + C_{2})$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Tulis kembali $2 (\frac{1}{2} u^{2} + C_{2})$ sebagai $2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C_{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{2}{2} u^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{y} + C_{1} = \frac{2}{2} u^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.4.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{y} + C_{1} = 1 u^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.4.2.3

Kalikan $u^{2}$ dengan $1$ .

$e^{y} + C_{1} = u^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.5

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\ln (x)$ .

$e^{y} + C_{1} = \ln^{2} (x) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$e^{y} = \ln^{2} (x) + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{y}) = \ln (\ln^{2} (x) + K)$

Langkah 3.2

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Perluas $\ln (e^{y})$ dengan memindahkan $y$ ke luar logaritma.

$y \ln (e) = \ln (\ln^{2} (x) + K)$

Langkah 3.2.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\ln^{2} (x) + K)$

Langkah 3.2.3

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$y = \ln (\ln^{2} (x) + K)$