Kalkulus Contoh

$x^{2} d x + y (x - 1) d y = 0$

Langkah 1

Kurangkan $x^{2} d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y (x - 1) d y = - x^{2} d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{x - 1} (y (x - 1)) d y = \frac{1}{x - 1} (- x^{2}) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $x - 1$ dari $y (x - 1)$ .

$\frac{1}{x - 1} ((x - 1) y) d y = \frac{1}{x - 1} (- x^{2}) d x$

Langkah 3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{x - 1} ((x - 1) y) d y = \frac{1}{x - 1} (- x^{2}) d x$

Langkah 3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y d y = \frac{1}{x - 1} (- x^{2}) d x$

Langkah 3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$y d y = - \frac{1}{x - 1} x^{2} d x$

Langkah 3.3

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{1}{x - 1}$ .

$y d y = - \frac{x^{2}}{x - 1} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y d y = \int - \frac{x^{2}}{x - 1} d x$

Langkah 4.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{x^{2}}{x - 1} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{x^{2}}{x - 1} d x$

Langkah 4.3.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Langkah 4.3.2.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$x$
	$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Langkah 4.3.2.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$

Langkah 4.3.2.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{2} - x$

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$

Langkah 4.3.2.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$

Langkah 4.3.2.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$

Langkah 4.3.2.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$

Langkah 4.3.2.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$
					+	$x$	-	$1$

Langkah 4.3.2.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x - 1$

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$
					-	$x$	+	$1$

Langkah 4.3.2.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$
					-	$x$	+	$1$
							+	$1$

Langkah 4.3.2.11

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x + 1 + \frac{1}{x - 1} d x$

Langkah 4.3.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\int x d x + \int d x + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

Langkah 4.3.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int d x + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

Langkah 4.3.5

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + x + C_{3} + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

Langkah 4.3.6

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} + x + C_{3} + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

Langkah 4.3.7

Biarkan $u = x - 1$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.7.1

Biarkan $u = x - 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.7.1.1

Diferensialkan $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Langkah 4.3.7.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 4.3.7.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 4.3.7.1.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 4.3.7.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 4.3.7.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} + x + C_{3} + \int \frac{1}{u} d u)$

Langkah 4.3.8

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} + x + C_{3} + \ln (| u |) + C_{4})$

Langkah 4.3.9

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| u |)) + C_{5}$

Langkah 4.3.10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| x - 1 |)) + C_{5}$

Langkah 4.3.11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.11.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + x + \ln (| x - 1 |)) + C_{5}$

Langkah 4.3.11.2

Untuk menuliskan $\ln (| x - 1 |)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x + \frac{x^{2}}{2} + \ln (| x - 1 |) \cdot \frac{2}{2}) + C_{5}$

Langkah 4.3.11.3

Gabungkan $\ln (| x - 1 |)$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{\ln (| x - 1 |) \cdot 2}{2}) + C_{5}$

Langkah 4.3.11.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x + \frac{x^{2} + \ln (| x - 1 |) \cdot 2}{2}) + C_{5}$

Langkah 4.3.11.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\ln (| x - 1 |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x + \frac{x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)}{2}) + C_{5}$

Langkah 4.3.11.6

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - x - \frac{x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)}{2} + C_{5}$

Langkah 4.3.12

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - x - \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) + C_{5}$

Langkah 4.3.13

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) - x + C_{5}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) - x + C$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

Langkah 5.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

Langkah 5.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

Langkah 5.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Sederhanakan $2 (- \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} (2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

Langkah 5.2.2.1.1.2

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

Langkah 5.2.2.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

Langkah 5.2.2.1.1.3.2

Faktorkan $2$ dari $2 \ln (| x - 1 |)$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (\ln (| x - 1 |))) - x + C)$

Langkah 5.2.2.1.1.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

Langkah 5.2.2.1.1.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} - 1 \ln (| x - 1 |) - x + C)$

Langkah 5.2.2.1.1.4

Tulis kembali $- 1 \ln (| x - 1 |)$ sebagai $- \ln (| x - 1 |)$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} - \ln (| x - 1 |) - x + C)$

Langkah 5.2.2.1.1.5

Untuk menuliskan $- \ln (| x - 1 |)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} - \ln (| x - 1 |) \cdot \frac{2}{2} - x + C)$

Langkah 5.2.2.1.1.6

Gabungkan $- \ln (| x - 1 |)$ dan $\frac{2}{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{- \ln (| x - 1 |) \cdot 2}{2} - x + C)$

Langkah 5.2.2.1.1.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y^{2} = 2 (\frac{- x^{2} - \ln (| x - 1 |) \cdot 2}{2} - x + C)$

Langkah 5.2.2.1.1.8

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$y^{2} = 2 (\frac{- x^{2} - 2 \ln (| x - 1 |)}{2} - x + C)$

Langkah 5.2.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2} - 2 \ln (| x - 1 |)}{2} + 2 (- x) + 2 C$

Langkah 5.2.2.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2} - 2 \ln (| x - 1 |)}{2} + 2 (- x) + 2 C$

Langkah 5.2.2.1.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = - x^{2} - 2 \ln (| x - 1 |) + 2 (- x) + 2 C$

Langkah 5.2.2.1.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$y^{2} = - x^{2} - 2 \ln (| x - 1 |) - 2 x + 2 C$

Langkah 5.3

Sederhanakan $- 2 \ln (| x - 1 |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$y^{2} = - x^{2} - \ln ({| x - 1 |}^{2}) - 2 x + 2 C$

Langkah 5.4

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} - \ln ({| x - 1 |}^{2}) - 2 x + 2 C}$

Langkah 5.5

Sederhanakan $\pm \sqrt{- x^{2} - \ln ({| x - 1 |}^{2}) - 2 x + 2 C}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Hapus nilai mutlak dalam ${| x - 1 |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} - \ln ({(x - 1)}^{2}) - 2 x + 2 C}$

Langkah 5.5.2

Tulis kembali $- x^{2} - \ln ({(x - 1)}^{2}) - 2 x + 2 C$ dalam bentuk faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Kelompokkan kembali suku-suku.

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(x - 1)}^{2}) - x^{2} - 2 x + 2 C}$

Langkah 5.5.2.2

Faktorkan $- 1$ dari $- x^{2} - 2 x + 2 C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.2.1

Pindahkan $- 2 x$ .

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(x - 1)}^{2}) - x^{2} + 2 C - 2 x}$

Langkah 5.5.2.2.2

Faktorkan $- 1$ dari $- x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(x - 1)}^{2}) - (x^{2}) + 2 C - 2 x}$

Langkah 5.5.2.2.3

Faktorkan $- 1$ dari $2 C$ .

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(x - 1)}^{2}) - (x^{2}) - (- 2 C) - 2 x}$

Langkah 5.5.2.2.4

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 x$ .

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(x - 1)}^{2}) - (x^{2}) - (- 2 C) - (2 x)}$

Langkah 5.5.2.2.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (x^{2}) - (- 2 C)$ .

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(x - 1)}^{2}) - (x^{2} - 2 C) - (2 x)}$

Langkah 5.5.2.2.6

Faktorkan $- 1$ dari $- (x^{2} - 2 C) - (2 x)$ .

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(x - 1)}^{2}) - (x^{2} - 2 C + 2 x)}$

Langkah 5.5.2.3

Faktorkan $- 1$ dari $- \ln ({(x - 1)}^{2}) - (x^{2} - 2 C + 2 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.3.1

Susun kembali $- \ln ({(x - 1)}^{2})$ dan $- (x^{2} - 2 C + 2 x)$ .

$y = \pm \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x) - \ln ({(x - 1)}^{2})}$

Langkah 5.5.2.3.2

Faktorkan $- 1$ dari $- \ln ({(x - 1)}^{2})$ .

$y = \pm \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x) - (\ln ({(x - 1)}^{2}))}$

Langkah 5.5.2.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (x^{2} - 2 C + 2 x) - (\ln ({(x - 1)}^{2}))$ .

$y = \pm \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

Langkah 5.6

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

Langkah 5.6.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

Langkah 5.6.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

$y = - \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

$y = \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

$y = - \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

$y = \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

$y = - \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

Langkah 6

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \sqrt{- (x^{2} + C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

$y = - \sqrt{- (x^{2} + C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$