Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + y = \sin (x)$

Langkah 1

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Buat integralnya.

$e^{\int d x}$

Langkah 1.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{x + C}$

Langkah 1.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{x}$

Langkah 2

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \sin (x)$

Langkah 2.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \sin (x)$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = e^{x} \sin (x)$

Langkah 3

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = e^{x} \sin (x)$

Langkah 4

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int e^{x} \sin (x) d x$

Langkah 5

Integralkan sisi kiri.

$e^{x} y = \int e^{x} \sin (x) d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Susun kembali $e^{x}$ dan $\sin (x)$ .

$e^{x} y = \int \sin (x) e^{x} d x$

Langkah 6.2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \sin (x)$ dan $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x$

Langkah 6.3

Susun kembali $e^{x}$ dan $\cos (x)$ .

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - \int \cos (x) e^{x} d x$

Langkah 6.4

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \cos (x)$ dan $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x)$

Langkah 6.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Langkah 6.6

Sederhanakan dengan mengalikan semuanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Langkah 6.6.2

Kalikan $\int e^{x} (\sin (x)) d x$ dengan $1$ .

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Langkah 6.6.3

Terapkan sifat distributif.

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x}) - \int e^{x} (\sin (x)) d x$

Langkah 6.7

Ketika menyelesaikan $\int e^{x} \sin (x) d x$ , kami menemukan bahwa $\int e^{x} \sin (x) d x$ = $\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2}$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2} + C$

Langkah 6.8

Tulis kembali $\frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C$ sebagai $\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$ .

$e^{x} y = \frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$

Langkah 7

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Terapkan sifat distributif.

$e^{x} y = \frac{1}{2} (\sin (x) e^{x}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x}) + C$

Langkah 7.1.2

Kalikan $\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.2.1

Gabungkan $\sin (x)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x)}{2} e^{x} + \frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x}) + C$

Langkah 7.1.2.2

Gabungkan $\frac{\sin (x)}{2}$ dan $e^{x}$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x}}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x}) + C$

Langkah 7.1.3

Kalikan $\frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.3.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\cos (x)$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x}}{2} - \frac{\cos (x)}{2} e^{x} + C$

Langkah 7.1.3.2

Gabungkan $e^{x}$ dan $\frac{\cos (x)}{2}$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x}}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$

Langkah 7.1.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{\sin (x) e^{x}}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2}$ .

$e^{x} y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$

Langkah 7.2

Bagi setiap suku pada $e^{x} y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$ dengan $e^{x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Bagilah setiap suku di $e^{x} y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$ dengan $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{e^{x} \sin (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{e^{x} \sin (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 7.2.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\frac{e^{x} \sin (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 7.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 7.2.3.1.2

Gabungkan.

$y = \frac{e^{x} \sin (x) \cdot 1}{2 e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 7.2.3.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{e^{x} \sin (x) \cdot 1}{2 e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 7.2.3.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{\sin (x) \cdot 1}{2} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 7.2.3.1.4

Kalikan $\sin (x)$ dengan $1$ .

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 7.2.3.1.5

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 7.2.3.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1.6.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{- e^{x} \cos (x)}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 7.2.3.1.6.2

Faktorkan $e^{x}$ dari $- e^{x} \cos (x)$ .

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{e^{x} (- 1 \cos (x))}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 7.2.3.1.6.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{e^{x} (- 1 \cos (x))}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 7.2.3.1.6.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{- 1 \cos (x)}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 7.2.3.1.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + \frac{C}{e^{x}}$