Kalkulus Contoh

$4 \sqrt{y} = x - y$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{y}$ sebagai $y^{\frac{1}{2}}$ .

$4 y^{\frac{1}{2}} = x - y$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (4 y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (x - y)$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 y^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$4 (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.8

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.9

Pindahkan $y^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.10

Gabungkan $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ dan $4$ .

$\frac{4}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.11

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.12

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.1

Faktorkan $2$ dari $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (y^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.12.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 2}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.12.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.13

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{2}{y^{\frac{1}{2}}} y'$

Langkah 3.14

Gabungkan $\frac{2}{y^{\frac{1}{2}}}$ dan $y'$ .

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 4.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 4.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- y$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 4.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$1 - y'$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} = 1 - y'$

Langkah 6

Selesaikan $y^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan kedua ruas dengan $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = (1 - y') y^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = (1 - y') y^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2 y' = (1 - y') y^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Sederhanakan $(1 - y') y^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$2 y' = 1 y^{\frac{1}{2}} - y' y^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.2.2.1.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.2.1

Kalikan $y^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$2 y' = y^{\frac{1}{2}} - y' y^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.2.2.1.2.2

Susun kembali $y^{\frac{1}{2}}$ dan $- y' y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y' = - y' y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.3

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Tambahkan $y' y^{\frac{1}{2}}$ ke kedua sisi persamaan.

$2 y' + y' y^{\frac{1}{2}} = y^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.3.2

Tentukan faktor persekutuan $y^{\frac{1}{2}}$ yang ada dalam setiap suku.

$2 {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} + y' y^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.3.3

Substitusikan $u$ untuk $y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} + y' (u) - (u) = 0$

Langkah 6.3.4

Selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.4.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.4.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + y' u - u = 0$

Langkah 6.3.4.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.4.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + y' u - u = 0$

Langkah 6.3.4.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2 {y'}^{1} + y' u - u = 0$

Langkah 6.3.4.1.2

Sederhanakan.

$2 y' + y' u - u = 0$

Langkah 6.3.4.2

Kurangkan $2 y'$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y' u - u = - 2 y'$

Langkah 6.3.4.3

Faktorkan $u$ dari $y' u - u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.4.3.1

Faktorkan $u$ dari $y' u$ .

$u y' - u = - 2 y'$

Langkah 6.3.4.3.2

Faktorkan $u$ dari $- u$ .

$u y' + u \cdot - 1 = - 2 y'$

Langkah 6.3.4.3.3

Faktorkan $u$ dari $u y' + u \cdot - 1$ .

$u (y' - 1) = - 2 y'$

Langkah 6.3.4.4

Bagi setiap suku pada $u (y' - 1) = - 2 y'$ dengan $y' - 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.4.4.1

Bagilah setiap suku di $u (y' - 1) = - 2 y'$ dengan $y' - 1$ .

$\frac{u (y' - 1)}{y' - 1} = \frac{- 2 y'}{y' - 1}$

Langkah 6.3.4.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.4.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y' - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.4.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{u (y' - 1)}{y' - 1} = \frac{- 2 y'}{y' - 1}$

Langkah 6.3.4.4.2.1.2

Bagilah $u$ dengan $1$ .

$u = \frac{- 2 y'}{y' - 1}$

Langkah 6.3.4.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.4.4.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$u = - \frac{2 y'}{y' - 1}$

Langkah 6.3.5

Substitusikan $y'$ untuk $u$ .

$y^{\frac{1}{2}} = - \frac{2 y'}{y' - 1}$

Langkah 7

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y'}{y' - 1}$