Kalkulus Contoh

$\int \sqrt{16 - x^{2}} d x$

Langkah 1

Biarkan $x = 4 \sin (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = 4 \cos (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $4 \cos (t)$ positif.

$\int \sqrt{16 - {(4 \sin (t))}^{2}} (4 \cos (t)) d t$

Langkah 2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan $\sqrt{16 - {(4 \sin (t))}^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $4 \sin (t)$ .

$\int \sqrt{16 - (4^{2} \sin^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.1.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\int \sqrt{16 - (16 \sin^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.1.3

Kalikan $16$ dengan $- 1$ .

$\int \sqrt{16 - 16 \sin^{2} (t)} (4 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.2

Faktorkan $16$ dari $16$ .

$\int \sqrt{16 (1) - 16 \sin^{2} (t)} (4 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.3

Faktorkan $16$ dari $- 16 \sin^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.4

Faktorkan $16$ dari $16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \sqrt{16 (1 - \sin^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.5

Terapkan identitas pythagoras.

$\int \sqrt{16 \cos^{2} (t)} (4 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.6

Tulis kembali $16 \cos^{2} (t)$ sebagai ${(4 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(4 \cos (t))}^{2}} (4 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int 4 \cos (t) (4 \cos (t)) d t$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$\int 16 \cos (t) \cos (t) d t$

Langkah 2.2.2

Naikkan $\cos (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int 16 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Langkah 2.2.3

Naikkan $\cos (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int 16 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Langkah 2.2.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int 16 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Langkah 2.2.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int 16 \cos^{2} (t) d t$

Langkah 3

Karena $16$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $16$ keluar dari integral.

$16 \int \cos^{2} (t) d t$

Langkah 4

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\cos^{2} (t)$ sebagai $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$16 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Langkah 5

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$16 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $16$ .

$\frac{16}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 6.2

Hapus faktor persekutuan dari $16$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Faktorkan $2$ dari $16$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 6.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 6.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{8}{1} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 6.2.2.4

Bagilah $8$ dengan $1$ .

$8 \int 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 7

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$8 (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Langkah 8

Terapkan aturan konstanta.

$8 (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Langkah 9

Biarkan $u = 2 t$ . Kemudian $d u = 2 d t$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Biarkan $u = 2 t$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Diferensialkan $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Langkah 9.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2 t$ terhadap $t$ adalah $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 9.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 9.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 9.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$8 (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Langkah 10

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$8 (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Langkah 11

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$8 (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Langkah 12

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$8 (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Langkah 13

Sederhanakan.

$8 (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Langkah 14

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $\arcsin (\frac{x}{4})$ .

$8 (\arcsin (\frac{x}{4}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Langkah 14.2

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 t$ .

$8 (\arcsin (\frac{x}{4}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Langkah 14.3

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $\arcsin (\frac{x}{4})$ .

$8 (\arcsin (\frac{x}{4}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Langkah 15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))$ .

$8 (\arcsin (\frac{x}{4}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

Langkah 15.2

Terapkan sifat distributif.

$8 \arcsin (\frac{x}{4}) + 8 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Langkah 15.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$8 \arcsin (\frac{x}{4}) + 2 (4) \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Langkah 15.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$8 \arcsin (\frac{x}{4}) + 2 \cdot 4 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Langkah 15.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$8 \arcsin (\frac{x}{4}) + 4 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{4})) + C$

Langkah 16

Susun kembali suku-suku.

$8 \arcsin (\frac{1}{4} x) + 4 \sin (2 \arcsin (\frac{1}{4} x)) + C$