Kalkulus Contoh

$x^{5} + y^{5} = 30 x y$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x^{5} + y^{5}) = \frac{d}{d x} (30 x y)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{5} + y^{5}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [y^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [y^{5}]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [y^{5}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{5}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{5}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$5 x^{4} + 5 u^{4} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$5 x^{4} + 5 y^{4} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$5 x^{4} + 5 y^{4} y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Karena $30$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $30 x y$ terhadap $x$ adalah $30 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$30 \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$30 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$30 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$30 (x y' + y \cdot 1)$

Langkah 3.5

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$30 (x y' + y)$

Langkah 3.6

Terapkan sifat distributif.

$30 x y' + 30 y$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$5 x^{4} + 5 y^{4} y' = 30 x y' + 30 y$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kurangkan $30 x y'$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$5 x^{4} + 5 y^{4} y' - 30 x y' = 30 y$

Langkah 5.2

Kurangkan $5 x^{4}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$5 y^{4} y' - 30 x y' = 30 y - 5 x^{4}$

Langkah 5.3

Faktorkan $5 y'$ dari $5 y^{4} y' - 30 x y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Faktorkan $5 y'$ dari $5 y^{4} y'$ .

$5 y' y^{4} - 30 x y' = 30 y - 5 x^{4}$

Langkah 5.3.2

Faktorkan $5 y'$ dari $- 30 x y'$ .

$5 y' y^{4} + 5 y' (- 6 x) = 30 y - 5 x^{4}$

Langkah 5.3.3

Faktorkan $5 y'$ dari $5 y' y^{4} + 5 y' (- 6 x)$ .

$5 y' (y^{4} - 6 x) = 30 y - 5 x^{4}$

Langkah 5.4

Bagi setiap suku pada $5 y' (y^{4} - 6 x) = 30 y - 5 x^{4}$ dengan $5 (y^{4} - 6 x)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Bagilah setiap suku di $5 y' (y^{4} - 6 x) = 30 y - 5 x^{4}$ dengan $5 (y^{4} - 6 x)$ .

$\frac{5 y' (y^{4} - 6 x)}{5 (y^{4} - 6 x)} = \frac{30 y}{5 (y^{4} - 6 x)} + \frac{- 5 x^{4}}{5 (y^{4} - 6 x)}$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5 y' (y^{4} - 6 x)}{5 (y^{4} - 6 x)} = \frac{30 y}{5 (y^{4} - 6 x)} + \frac{- 5 x^{4}}{5 (y^{4} - 6 x)}$

Langkah 5.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (y^{4} - 6 x)}{y^{4} - 6 x} = \frac{30 y}{5 (y^{4} - 6 x)} + \frac{- 5 x^{4}}{5 (y^{4} - 6 x)}$

Langkah 5.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{4} - 6 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (y^{4} - 6 x)}{y^{4} - 6 x} = \frac{30 y}{5 (y^{4} - 6 x)} + \frac{- 5 x^{4}}{5 (y^{4} - 6 x)}$

Langkah 5.4.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{30 y}{5 (y^{4} - 6 x)} + \frac{- 5 x^{4}}{5 (y^{4} - 6 x)}$

Langkah 5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $30$ dan $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.1.1

Faktorkan $5$ dari $30 y$ .

$y' = \frac{5 (6 y)}{5 (y^{4} - 6 x)} + \frac{- 5 x^{4}}{5 (y^{4} - 6 x)}$

Langkah 5.4.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{5 (6 y)}{5 (y^{4} - 6 x)} + \frac{- 5 x^{4}}{5 (y^{4} - 6 x)}$

Langkah 5.4.3.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{6 y}{y^{4} - 6 x} + \frac{- 5 x^{4}}{5 (y^{4} - 6 x)}$

Langkah 5.4.3.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 5$ dan $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.2.1

Faktorkan $5$ dari $- 5 x^{4}$ .

$y' = \frac{6 y}{y^{4} - 6 x} + \frac{5 (- x^{4})}{5 (y^{4} - 6 x)}$

Langkah 5.4.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{6 y}{y^{4} - 6 x} + \frac{5 (- x^{4})}{5 (y^{4} - 6 x)}$

Langkah 5.4.3.1.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{6 y}{y^{4} - 6 x} + \frac{- x^{4}}{y^{4} - 6 x}$

Langkah 5.4.3.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{6 y}{y^{4} - 6 x} - \frac{x^{4}}{y^{4} - 6 x}$

Langkah 5.4.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{6 y - x^{4}}{y^{4} - 6 x}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 y - x^{4}}{y^{4} - 6 x}$