Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{2}$

Langkah 1

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = 3 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Buat integralnya.

$e^{\int 3 x^{2} d x}$

Langkah 1.2

Integralkan $3 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$e^{3 \int x^{2} d x}$

Langkah 1.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$e^{3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)}$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Tulis kembali $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ sebagai $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$e^{3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C}$

Langkah 1.2.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{3}$ .

$e^{\frac{3}{3} x^{3} + C}$

Langkah 1.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{\frac{3}{3} x^{3} + C}$

Langkah 1.2.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{1 x^{3} + C}$

Langkah 1.2.3.2.3

Kalikan $x^{3}$ dengan $1$ .

$e^{x^{3} + C}$

Langkah 1.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{x^{3}}$

Langkah 2

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{x^{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{x^{3}}$ .

$e^{x^{3}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{3}} (3 x^{2} y) = e^{x^{3}} x^{2}$

Langkah 2.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{x^{3}} \frac{d y}{d x} + 3 e^{x^{3}} (x^{2} y) = e^{x^{3}} x^{2}$

Langkah 2.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{x^{3}} \frac{d y}{d x} + 3 e^{x^{3}} (x^{2} y) = e^{x^{3}} x^{2}$ .

$e^{x^{3}} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = x^{2} e^{x^{3}}$

Langkah 3

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y] = x^{2} e^{x^{3}}$

Langkah 4

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y] d x = \int x^{2} e^{x^{3}} d x$

Langkah 5

Integralkan sisi kiri.

$e^{x^{3}} y = \int x^{2} e^{x^{3}} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u_{2} = e^{x^{3}}$ . Kemudian $d u_{2} = 3 x^{2} e^{x^{3}} d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{x^{3}} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Biarkan $u_{2} = e^{x^{3}}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Diferensialkan $e^{x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$

Langkah 6.1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 6.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 6.1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{3}$ .

$e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 6.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$e^{x^{3}} (3 x^{2})$

Langkah 6.1.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.4.1

Susun kembali faktor-faktor dari $e^{x^{3}} (3 x^{2})$ .

$3 e^{x^{3}} x^{2}$

Langkah 6.1.1.4.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $3 e^{x^{3}} x^{2}$ .

$3 x^{2} e^{x^{3}}$

Langkah 6.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$e^{x^{3}} y = \int \frac{1}{3} d u_{2}$

Langkah 6.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{x^{3}} y = \frac{1}{3} u_{2} + C$

Langkah 6.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $e^{x^{3}}$ .

$e^{x^{3}} y = \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$

Langkah 7

Bagi setiap suku pada $e^{x^{3}} y = \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$ dengan $e^{x^{3}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagilah setiap suku di $e^{x^{3}} y = \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$ dengan $e^{x^{3}}$ .

$\frac{e^{x^{3}} y}{e^{x^{3}}} = \frac{\frac{1}{3} e^{x^{3}}}{e^{x^{3}}} + \frac{C}{e^{x^{3}}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x^{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{x^{3}} y}{e^{x^{3}}} = \frac{\frac{1}{3} e^{x^{3}}}{e^{x^{3}}} + \frac{C}{e^{x^{3}}}$

Langkah 7.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{3} e^{x^{3}}}{e^{x^{3}}} + \frac{C}{e^{x^{3}}}$

Langkah 7.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x^{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{\frac{1}{3} e^{x^{3}}}{e^{x^{3}}} + \frac{C}{e^{x^{3}}}$

Langkah 7.3.1.2

Bagilah $\frac{1}{3}$ dengan $1$ .

$y = \frac{1}{3} + \frac{C}{e^{x^{3}}}$