Kalkulus Contoh

$y = \frac{x}{e^{x}}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{x}{e^{x}})$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ adalah $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ di mana $f (y) = x$ dan $g (y) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Langkah 3.2

Kalikan eksponen dalam ${(e^{x})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Langkah 3.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Langkah 3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [x]$ sebagai $x'$ .

$\frac{e^{x} x' - x \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = e^{y}$ dan $g (y) = x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x$ .

$\frac{e^{x} x' - x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

Langkah 3.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} x' - x (e^{u} \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

Langkah 3.4.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x$ .

$\frac{e^{x} x' - x (e^{x} \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

Langkah 3.5

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [x]$ sebagai $x'$ .

$\frac{e^{x} x' - x (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Langkah 3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Susun kembali suku-suku.

$\frac{e^{x} x' - e^{x} x x'}{e^{2 x}}$

Langkah 3.6.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.1

Faktorkan $x'$ dari $e^{x} x' - e^{x} x x'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.1.1

Faktorkan $x'$ dari $e^{x} x'$ .

$\frac{x' e^{x} - e^{x} x x'}{e^{2 x}}$

Langkah 3.6.2.1.2

Faktorkan $x'$ dari $- e^{x} x x'$ .

$\frac{x' e^{x} + x' (- e^{x} x)}{e^{2 x}}$

Langkah 3.6.2.1.3

Faktorkan $x'$ dari $x' e^{x} + x' (- e^{x} x)$ .

$\frac{x' (e^{x} - e^{x} x)}{e^{2 x}}$

Langkah 3.6.2.2

Faktorkan $e^{x}$ dari $e^{x} - e^{x} x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$\frac{x' (e^{x} \cdot 1 - e^{x} x)}{e^{2 x}}$

Langkah 3.6.2.2.2

Faktorkan $e^{x}$ dari $- e^{x} x$ .

$\frac{x' (e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- x))}{e^{2 x}}$

Langkah 3.6.2.2.3

Faktorkan $e^{x}$ dari $e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- x)$ .

$\frac{x' (e^{x} (1 - x))}{e^{2 x}}$

$\frac{x' e^{x} (1 - x)}{e^{2 x}}$

Langkah 3.6.3

Hapus faktor persekutuan dari $e^{x}$ dan $e^{2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.3.1

Faktorkan $e^{2 x}$ dari $x' e^{x} (1 - x)$ .

$\frac{e^{2 x} (x' e^{- x} (1 - x))}{e^{2 x}}$

Langkah 3.6.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.3.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$\frac{e^{2 x} (x' e^{- x} (1 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Langkah 3.6.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{2 x} (x' e^{- x} (1 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Langkah 3.6.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x' e^{- x} (1 - x)}{1}$

Langkah 3.6.3.2.4

Bagilah $x' e^{- x} (1 - x)$ dengan $1$ .

$x' e^{- x} (1 - x)$

Langkah 3.6.4

Terapkan sifat distributif.

$x' e^{- x} \cdot 1 + x' e^{- x} (- x)$

Langkah 3.6.5

Kalikan $x'$ dengan $1$ .

$x' e^{- x} + x' e^{- x} (- x)$

Langkah 3.6.6

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$x' e^{- x} - x' e^{- x} x$

Langkah 3.6.7

Susun kembali faktor-faktor dalam $x' e^{- x} - x' e^{- x} x$ .

$e^{- x} x' - x e^{- x} x'$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$1 = e^{- x} x' - x e^{- x} x'$

Langkah 5

Selesaikan $x'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $e^{- x} x' - x e^{- x} x' = 1$ .

$e^{- x} x' - x e^{- x} x' = 1$

Langkah 5.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{- x} x' - x e^{- x} x'$ .

$x' e^{- x} - x x' e^{- x} = 1$

Langkah 5.3

Faktorkan $x' e^{- x}$ dari $x' e^{- x} - x x' e^{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Faktorkan $x' e^{- x}$ dari $x' e^{- x}$ .

$x' e^{- x} \cdot 1 - x x' e^{- x} = 1$

Langkah 5.3.2

Faktorkan $x' e^{- x}$ dari $- x x' e^{- x}$ .

$x' e^{- x} \cdot 1 + x' e^{- x} (- x) = 1$

Langkah 5.3.3

Faktorkan $x' e^{- x}$ dari $x' e^{- x} \cdot 1 + x' e^{- x} (- x)$ .

$x' e^{- x} (1 - x) = 1$

Langkah 5.4

Bagi setiap suku pada $x' e^{- x} (1 - x) = 1$ dengan $e^{- x} (1 - x)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Bagilah setiap suku di $x' e^{- x} (1 - x) = 1$ dengan $e^{- x} (1 - x)$ .

$\frac{x' e^{- x} (1 - x)}{e^{- x} (1 - x)} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x' e^{- x} (1 - x)}{e^{- x} (1 - x)} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

Langkah 5.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x' (1 - x)}{1 - x} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

Langkah 5.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $1 - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x' (1 - x)}{1 - x} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

Langkah 5.4.2.2.2

Bagilah $x'$ dengan $1$ .

$x' = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

Langkah 6

Ganti $x'$ dengan $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$