Kalkulus Contoh

$y = (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x)))$

Langkah 2

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = \sec (x) + \tan (x)$ dan $g (x) = \sec (x) - \tan (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x) - \tan (x)] + (\sec (x) - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\sec (x) - \tan (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]) + (\sec (x) - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Langkah 3.3

Turunan dari $\sec (x)$ terhadap $x$ adalah $\sec (x) \tan (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]) + (\sec (x) - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Langkah 3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \tan (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) - \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + (\sec (x) - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Langkah 3.5

Turunan dari $\tan (x)$ terhadap $x$ adalah $\sec^{2} (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Langkah 3.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\sec (x) + \tan (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Langkah 3.7

Turunan dari $\sec (x)$ terhadap $x$ adalah $\sec (x) \tan (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Langkah 3.8

Turunan dari $\tan (x)$ terhadap $x$ adalah $\sec^{2} (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Langkah 3.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1.1

Perluas $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x))$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\sec (x) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Langkah 3.9.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$\sec (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Langkah 3.9.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\sec (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Langkah 3.9.1.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1.2.1.1

Kalikan $\sec (x) (\sec (x) \tan (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1.2.1.1.1

Naikkan $\sec (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Langkah 3.9.1.2.1.1.2

Naikkan $\sec (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Langkah 3.9.1.2.1.1.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

${\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Langkah 3.9.1.2.1.1.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\sec^{2} (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Langkah 3.9.1.2.1.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Langkah 3.9.1.2.1.3

Kalikan $\sec (x)$ dengan $\sec^{2} (x)$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1.2.1.3.1

Pindahkan $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) \tan (x) - (\sec^{2} (x) \sec (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Langkah 3.9.1.2.1.3.2

Kalikan $\sec^{2} (x)$ dengan $\sec (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1.2.1.3.2.1

Naikkan $\sec (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\sec^{2} (x) \tan (x) - (\sec^{2} (x) \sec^{1} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Langkah 3.9.1.2.1.3.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\sec^{2} (x) \tan (x) - {\sec (x)}^{2 + 1} + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Langkah 3.9.1.2.1.3.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Langkah 3.9.1.2.1.4

Kalikan $\tan (x) (\sec (x) \tan (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1.2.1.4.1

Naikkan $\tan (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Langkah 3.9.1.2.1.4.2

Naikkan $\tan (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Langkah 3.9.1.2.1.4.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Langkah 3.9.1.2.1.4.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Langkah 3.9.1.2.1.5

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - \tan (x) \sec^{2} (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Langkah 3.9.1.2.2

Susun kembali faktor-faktor dari $- \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - \sec^{2} (x) \tan (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Langkah 3.9.1.2.3

Kurangi $\sec^{2} (x) \tan (x)$ dengan $\sec^{2} (x) \tan (x)$ .

$0 - \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Langkah 3.9.1.2.4

Kurangi $\sec^{3} (x)$ dengan $0$ .

$- \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Langkah 3.9.1.3

Faktorkan $\sec (x)$ dari $- \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1.3.1

Faktorkan $\sec (x)$ dari $- \sec^{3} (x)$ .

$\sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) \sec (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Langkah 3.9.1.3.2

Faktorkan $\sec (x)$ dari $\tan^{2} (x) \sec (x)$ .

$\sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \sec (x) \tan^{2} (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Langkah 3.9.1.3.3

Faktorkan $\sec (x)$ dari $\sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \sec (x) \tan^{2} (x)$ .

$\sec (x) (- \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Langkah 3.9.1.4

Faktorkan $- 1$ dari $- \sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) (- (\sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Langkah 3.9.1.5

Faktorkan $- 1$ dari $\tan^{2} (x)$ .

$\sec (x) (- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x))) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Langkah 3.9.1.6

Faktorkan $- 1$ dari $- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x))$ .

$\sec (x) (- (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Langkah 3.9.1.7

Terapkan identitas pythagoras.

$\sec (x) (- 1 \cdot 1) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Langkah 3.9.1.8

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\sec (x) \cdot - 1 + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Langkah 3.9.1.9

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $\sec (x)$ .

$- 1 \cdot \sec (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Langkah 3.9.1.10

Tulis kembali $- 1 \sec (x)$ sebagai $- \sec (x)$ .

$- \sec (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Langkah 3.9.1.11

Perluas $(\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1.11.1

Terapkan sifat distributif.

$- \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Langkah 3.9.1.11.2

Terapkan sifat distributif.

$- \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Langkah 3.9.1.11.3

Terapkan sifat distributif.

$- \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Langkah 3.9.1.12

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1.12.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1.12.1.1

Kalikan $\sec (x) (\sec (x) \tan (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1.12.1.1.1

Naikkan $\sec (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$- \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Langkah 3.9.1.12.1.1.2

Naikkan $\sec (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$- \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \tan (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Langkah 3.9.1.12.1.1.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \sec (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Langkah 3.9.1.12.1.1.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Langkah 3.9.1.12.1.2

Kalikan $\sec (x)$ dengan $\sec^{2} (x)$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1.12.1.2.1

Kalikan $\sec (x)$ dengan $\sec^{2} (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1.12.1.2.1.1

Naikkan $\sec (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{1} (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Langkah 3.9.1.12.1.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + {\sec (x)}^{1 + 2} - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Langkah 3.9.1.12.1.2.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Langkah 3.9.1.12.1.3

Kalikan $- \tan (x) (\sec (x) \tan (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1.12.1.3.1

Naikkan $\tan (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec (x) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Langkah 3.9.1.12.1.3.2

Naikkan $\tan (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec (x) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Langkah 3.9.1.12.1.3.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) - {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Langkah 3.9.1.12.1.3.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Langkah 3.9.1.12.2

Susun kembali faktor-faktor dari $- \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x) - \sec^{2} (x) \tan (x)$

Langkah 3.9.1.12.3

Kurangi $\sec^{2} (x) \tan (x)$ dengan $\sec^{2} (x) \tan (x)$ .

$- \sec (x) + 0 + \sec^{3} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)$

Langkah 3.9.1.12.4

Tambahkan $0$ dan $\sec^{3} (x)$ .

$- \sec (x) + \sec^{3} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)$

Langkah 3.9.1.13

Faktorkan $\sec (x)$ dari $\sec^{3} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1.13.1

Faktorkan $\sec (x)$ dari $\sec^{3} (x)$ .

$- \sec (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)$

Langkah 3.9.1.13.2

Faktorkan $\sec (x)$ dari $- \tan^{2} (x) \sec (x)$ .

$- \sec (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) + \sec (x) (- \tan^{2} (x))$

Langkah 3.9.1.13.3

Faktorkan $\sec (x)$ dari $\sec (x) \sec^{2} (x) + \sec (x) (- \tan^{2} (x))$ .

$- \sec (x) + \sec (x) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Langkah 3.9.1.14

Terapkan identitas pythagoras.

$- \sec (x) + \sec (x) \cdot 1$

Langkah 3.9.1.15

Kalikan $\sec (x)$ dengan $1$ .

$- \sec (x) + \sec (x)$

Langkah 3.9.2

Tambahkan $- \sec (x)$ dan $\sec (x)$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = 0$

Langkah 5

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 0$