Kalkulus Contoh

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 9}$ , $x = 4$

Langkah 1

Temukan nilai $y$ yang sesuai pada $x = 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Substitusikan $4$ ke dalam $x$ .

$y = \sqrt{{(4)}^{2} + 9}$

Langkah 1.2

Sederhanakan $\sqrt{{(4)}^{2} + 9}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \sqrt{16 + 9}$

Langkah 1.2.2

Tambahkan $16$ dan $9$ .

$y = \sqrt{25}$

Langkah 1.2.3

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$y = \sqrt{5^{2}}$

Langkah 1.2.4

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$y = 5$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 4$ dan $y = 5$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x^{2} + 9}$ sebagai ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = x^{2} + 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 9$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Langkah 2.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Langkah 2.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Langkah 2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Langkah 2.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Langkah 2.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Langkah 2.7

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Langkah 2.7.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Langkah 2.7.3

Pindahkan ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Langkah 2.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 9$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

Langkah 2.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [9])$

Langkah 2.10

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Langkah 2.11

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Langkah 2.11.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} x$

Langkah 2.11.3

Gabungkan $\frac{2}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.11.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.11.5

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.12

Evaluasi turunan pada $x = 4$ .

$\frac{4}{{({(4)}^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.13

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.13.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{4}{{(16 + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.13.2

Tambahkan $16$ dan $9$ .

$\frac{4}{25^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.13.3

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$\frac{4}{{(5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.13.4

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{5^{2 (\frac{1}{2})}}$

Langkah 2.13.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.13.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4}{5^{2 (\frac{1}{2})}}$

Langkah 2.13.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4}{5^{1}}$

Langkah 2.13.6

Evaluasi eksponennya.

$\frac{4}{5}$

Langkah 3

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gunakan gradien $\frac{4}{5}$ dan titik yang diberikan $(4, 5)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (5) = \frac{4}{5} \cdot (x - (4))$

Langkah 3.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 5 = \frac{4}{5} \cdot (x - 4)$

Langkah 3.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan $\frac{4}{5} \cdot (x - 4)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 5 = 0 + 0 + \frac{4}{5} \cdot (x - 4)$

Langkah 3.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - 5 = \frac{4}{5} \cdot (x - 4)$

Langkah 3.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - 5 = \frac{4}{5} x + \frac{4}{5} \cdot - 4$

Langkah 3.3.1.4

Gabungkan $\frac{4}{5}$ dan $x$ .

$y - 5 = \frac{4 x}{5} + \frac{4}{5} \cdot - 4$

Langkah 3.3.1.5

Kalikan $\frac{4}{5} \cdot - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.5.1

Gabungkan $\frac{4}{5}$ dan $- 4$ .

$y - 5 = \frac{4 x}{5} + \frac{4 \cdot - 4}{5}$

Langkah 3.3.1.5.2

Kalikan $4$ dengan $- 4$ .

$y - 5 = \frac{4 x}{5} + \frac{- 16}{5}$

Langkah 3.3.1.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y - 5 = \frac{4 x}{5} - \frac{16}{5}$

Langkah 3.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Tambahkan $5$ ke kedua sisi persamaan.

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{16}{5} + 5$

Langkah 3.3.2.2

Untuk menuliskan $5$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{16}{5} + 5 \cdot \frac{5}{5}$

Langkah 3.3.2.3

Gabungkan $5$ dan $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{16}{5} + \frac{5 \cdot 5}{5}$

Langkah 3.3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{- 16 + 5 \cdot 5}{5}$

Langkah 3.3.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.5.1

Kalikan $5$ dengan $5$ .

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{- 16 + 25}{5}$

Langkah 3.3.2.5.2

Tambahkan $- 16$ dan $25$ .

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{9}{5}$

Langkah 3.3.3

Susun kembali suku-suku.

$y = \frac{4}{5} x + \frac{9}{5}$

Langkah 4