Kalkulus Contoh

$y = \frac{5 \cos (x)}{1 + \sin (x)}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{5 \cos (x)}{1 + \sin (x)})$

Langkah 2

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{5 \cos (x)}{1 + \sin (x)}$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = 1 + \sin (x)$ .

$5 \frac{(1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Langkah 3.3

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Langkah 3.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Langkah 3.4.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Langkah 3.4.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Langkah 3.5

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Langkah 3.6

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Langkah 3.7

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Langkah 3.8

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Langkah 3.9

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Langkah 3.10

Gabungkan $5$ dan $\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$ .

$\frac{5 ((1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Langkah 3.11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{5 (1 (- \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Langkah 3.11.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{5 (1 (- \sin (x))) + 5 (\sin (x) (- \sin (x))) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Langkah 3.11.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.3.1.1

Kalikan $- \sin (x)$ dengan $1$ .

$\frac{5 (- \sin (x)) + 5 (\sin (x) (- \sin (x))) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Langkah 3.11.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$\frac{- 5 \sin (x) + 5 (\sin (x) (- \sin (x))) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Langkah 3.11.3.1.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{- 5 \sin (x) + 5 (- \sin (x) \sin (x)) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Langkah 3.11.3.1.4

Kalikan $- \sin (x) \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.3.1.4.1

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{- 5 \sin (x) + 5 (- (\sin^{1} (x) \sin (x))) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Langkah 3.11.3.1.4.2

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{- 5 \sin (x) + 5 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Langkah 3.11.3.1.4.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{- 5 \sin (x) + 5 (- {\sin (x)}^{1 + 1}) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Langkah 3.11.3.1.4.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{- 5 \sin (x) + 5 (- \sin^{2} (x)) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Langkah 3.11.3.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$\frac{- 5 \sin (x) - 5 \sin^{2} (x) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Langkah 3.11.3.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$\frac{- 5 \sin (x) - 5 \sin^{2} (x) - 5 \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Langkah 3.11.3.2

Faktorkan $- 5$ dari $- 5 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{- 5 \sin (x) - 5 (\sin^{2} (x)) - 5 \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Langkah 3.11.3.3

Faktorkan $- 5$ dari $- 5 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{- 5 \sin (x) - 5 (\sin^{2} (x)) - 5 (\cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Langkah 3.11.3.4

Faktorkan $- 5$ dari $- 5 (\sin^{2} (x)) - 5 (\cos^{2} (x))$ .

$\frac{- 5 \sin (x) - 5 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Langkah 3.11.3.5

Terapkan identitas pythagoras.

$\frac{- 5 \sin (x) - 5 \cdot 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Langkah 3.11.3.6

Kalikan $- 5$ dengan $1$ .

$\frac{- 5 \sin (x) - 5}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Langkah 3.11.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{- 5 - 5 \sin (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Langkah 3.11.5

Faktorkan $- 5$ dari $- 5 - 5 \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.5.1

Faktorkan $- 5$ dari $- 5$ .

$\frac{- 5 (1) - 5 \sin (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Langkah 3.11.5.2

Faktorkan $- 5$ dari $- 5 \sin (x)$ .

$\frac{- 5 (1) - 5 (\sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Langkah 3.11.5.3

Faktorkan $- 5$ dari $- 5 (1) - 5 (\sin (x))$ .

$\frac{- 5 (1 + \sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Langkah 3.11.6

Hapus faktor persekutuan dari $1 + \sin (x)$ dan ${(1 + \sin (x))}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.6.1

Faktorkan $1 + \sin (x)$ dari $- 5 (1 + \sin (x))$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 5}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Langkah 3.11.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.6.2.1

Faktorkan $1 + \sin (x)$ dari ${(1 + \sin (x))}^{2}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 5}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Langkah 3.11.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 5}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Langkah 3.11.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 5}{1 + \sin (x)}$

Langkah 3.11.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{5}{1 + \sin (x)}$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = - \frac{5}{1 + \sin (x)}$

Langkah 5

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5}{1 + \sin (x)}$