Kalkulus Contoh

$\int x \sqrt{1 - x^{4}} d x$

Langkah 1

Biarkan $u_{1} = x^{2}$ . Kemudian $d u_{1} = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u_{1} = x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \sqrt{1 - {\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ sebagai ${u_{1}}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u_{1}}$ sebagai ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{1 - {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{1 - {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $4$ .

$\int \sqrt{1 - {u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.1.4

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\int \sqrt{1 - {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\int \sqrt{1 - {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \sqrt{1 - {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \sqrt{1 - {u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.1.4.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$\int \sqrt{1 - {u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.2

Gabungkan $\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{1 - {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Langkah 4

Biarkan $u_{1} = \sin (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d u_{1} = \cos (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ positif.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Langkah 5

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Terapkan identitas pythagoras.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Langkah 5.1.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\frac{1}{2} \int \cos (t) \cos (t) d t$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Naikkan $\cos (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{2} \int \cos^{1} (t) \cos (t) d t$

Langkah 5.2.2

Naikkan $\cos (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{2} \int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t$

Langkah 5.2.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{2} \int {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Langkah 5.2.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1}{2} \int \cos^{2} (t) d t$

Langkah 6

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\cos^{2} (t)$ sebagai $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 8.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{4} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 9

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{4} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Langkah 10

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{4} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Langkah 11

Biarkan $u_{2} = 2 t$ . Kemudian $d u_{2} = 2 d t$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Biarkan $u_{2} = 2 t$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Diferensialkan $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Langkah 11.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2 t$ terhadap $t$ adalah $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 11.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 11.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 11.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} (t + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Langkah 12

Gabungkan $\cos (u_{2})$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (t + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Langkah 13

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Langkah 14

Integral dari $\cos (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Langkah 15

Sederhanakan.

$\frac{1}{4} (t + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Langkah 16

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $\arcsin (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} (\arcsin (u_{1}) + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Langkah 16.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 t$ .

$\frac{1}{4} (\arcsin (u_{1}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Langkah 16.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\arcsin (x^{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Langkah 16.4

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $\arcsin (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} (\arcsin (x^{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (u_{1}))) + C$

Langkah 16.5

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\arcsin (x^{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x^{2}))) + C$

Langkah 17

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sin (2 \arcsin (x^{2}))$ .

$\frac{1}{4} (\arcsin (x^{2}) + \frac{\sin (2 \arcsin (x^{2}))}{2}) + C$

Langkah 17.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{4} \arcsin (x^{2}) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x^{2}))}{2} + C$

Langkah 17.3

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $\arcsin (x^{2})$ .

$\frac{\arcsin (x^{2})}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x^{2}))}{2} + C$

Langkah 17.4

Gabungkan.

$\frac{\arcsin (x^{2})}{4} + \frac{1 \sin (2 \arcsin (x^{2}))}{4 \cdot 2} + C$

Langkah 17.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.5.1

Kalikan $\sin (2 \arcsin (x^{2}))$ dengan $1$ .

$\frac{\arcsin (x^{2})}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (x^{2}))}{4 \cdot 2} + C$

Langkah 17.5.2

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$\frac{\arcsin (x^{2})}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (x^{2}))}{8} + C$

Langkah 18

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{4} \arcsin (x^{2}) + \frac{1}{8} \sin (2 \arcsin (x^{2})) + C$