Kalkulus Contoh

$x^{4} (x + y) = y^{2} (3 x - y)$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d y} (x^{4} (x + y)) = \frac{d}{d y} (y^{2} (3 x - y))$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ adalah $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ di mana $f (y) = x^{4}$ dan $g (y) = x + y$ .

$x^{4} \frac{d}{d y} [x + y] + (x + y) \frac{d}{d y} [x^{4}]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + y$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]) + (x + y) \frac{d}{d y} [x^{4}]$

Langkah 2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [x]$ sebagai $x'$ .

$x^{4} (x' + \frac{d}{d y} [y]) + (x + y) \frac{d}{d y} [x^{4}]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x^{4} (x' + 1) + (x + y) \frac{d}{d y} [x^{4}]$

Langkah 2.5

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = y^{4}$ dan $g (y) = x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x$ .

$x^{4} (x' + 1) + (x + y) (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d y} [x])$

Langkah 2.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$x^{4} (x' + 1) + (x + y) (4 u^{3} \frac{d}{d y} [x])$

Langkah 2.5.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x$ .

$x^{4} (x' + 1) + (x + y) (4 x^{3} \frac{d}{d y} [x])$

Langkah 2.6

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $x + y$ .

$x^{4} (x' + 1) + 4 \cdot (x + y) x^{3} \frac{d}{d y} [x]$

Langkah 2.7

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [x]$ sebagai $x'$ .

$x^{4} (x' + 1) + 4 (x + y) x^{3} x'$

Langkah 2.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Terapkan sifat distributif.

$x^{4} x' + x^{4} \cdot 1 + 4 (x + y) x^{3} x'$

Langkah 2.8.2

Terapkan sifat distributif.

$x^{4} x' + x^{4} \cdot 1 + (4 x + 4 y) x^{3} x'$

Langkah 2.8.3

Terapkan sifat distributif.

$x^{4} x' + x^{4} \cdot 1 + (4 x \cdot x^{3} + 4 y x^{3}) x'$

Langkah 2.8.4

Terapkan sifat distributif.

$x^{4} x' + x^{4} \cdot 1 + 4 x \cdot x^{3} x' + 4 y x^{3} x'$

Langkah 2.8.5

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.5.1

Kalikan $x^{4}$ dengan $1$ .

$x^{4} x' + x^{4} + 4 x \cdot x^{3} x' + 4 y x^{3} x'$

Langkah 2.8.5.2

Kalikan $x$ dengan $x^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.5.2.1

Pindahkan $x^{3}$ .

$x^{4} x' + x^{4} + 4 (x^{3} x) x' + 4 y x^{3} x'$

Langkah 2.8.5.2.2

Kalikan $x^{3}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.5.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$x^{4} x' + x^{4} + 4 (x^{3} x^{1}) x' + 4 y x^{3} x'$

Langkah 2.8.5.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x^{4} x' + x^{4} + 4 x^{3 + 1} x' + 4 y x^{3} x'$

Langkah 2.8.5.2.3

Tambahkan $3$ dan $1$ .

$x^{4} x' + x^{4} + 4 x^{4} x' + 4 y x^{3} x'$

Langkah 2.8.5.3

Tambahkan $x^{4} x'$ dan $4 x^{4} x'$ .

$x^{4} + 5 x^{4} x' + 4 y x^{3} x'$

Langkah 2.8.6

Susun kembali suku-suku.

$x^{4} + 5 x^{4} x' + 4 x^{3} y x'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ adalah $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ di mana $f (y) = y^{2}$ dan $g (y) = 3 x - y$ .

$y^{2} \frac{d}{d y} [3 x - y] + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 3.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x - y$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$y^{2} (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 3.2.2

Karena $3$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3 x$ terhadap $y$ adalah $3 \frac{d}{d y} [x]$ .

$y^{2} (3 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [x]$ sebagai $x'$ .

$y^{2} (3 x' + \frac{d}{d y} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- y$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$y^{2} (3 x' - \frac{d}{d y} [y]) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$y^{2} (3 x' - 1 \cdot 1) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 3.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$y^{2} (3 x' - 1) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$y^{2} (3 x' - 1) + (3 x - y) (2 y)$

Langkah 3.8

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $3 x - y$ .

$y^{2} (3 x' - 1) + 2 \cdot (3 x - y) y$

Langkah 3.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} (3 x') + y^{2} \cdot - 1 + 2 (3 x - y) y$

Langkah 3.9.2

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} (3 x') + y^{2} \cdot - 1 + (2 (3 x) + 2 (- y)) y$

Langkah 3.9.3

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} (3 x') + y^{2} \cdot - 1 + 2 (3 x) y + 2 (- y) y$

Langkah 3.9.4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.4.1

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $y^{2}$ .

$3 \cdot y^{2} x' + y^{2} \cdot - 1 + 2 (3 x) y + 2 (- y) y$

Langkah 3.9.4.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $y^{2}$ .

$3 y^{2} x' - 1 \cdot y^{2} + 2 (3 x) y + 2 (- y) y$

Langkah 3.9.4.3

Tulis kembali $- 1 y^{2}$ sebagai $- y^{2}$ .

$3 y^{2} x' - y^{2} + 2 (3 x) y + 2 (- y) y$

Langkah 3.9.4.4

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y + 2 (- y) y$

Langkah 3.9.4.5

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y - 2 y \cdot y$

Langkah 3.9.4.6

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y - 2 (y^{1} y)$

Langkah 3.9.4.7

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y - 2 (y^{1} y^{1})$

Langkah 3.9.4.8

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y - 2 y^{1 + 1}$

Langkah 3.9.4.9

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y - 2 y^{2}$

Langkah 3.9.4.10

Kurangi $2 y^{2}$ dengan $- y^{2}$ .

$3 y^{2} x' - 3 y^{2} + 6 x y$

Langkah 3.9.5

Susun kembali suku-suku.

$- 3 y^{2} + 3 y^{2} x' + 6 x y$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$x^{4} + 5 x^{4} x' + 4 x^{3} y x' = - 3 y^{2} + 3 y^{2} x' + 6 x y$

Langkah 5

Selesaikan $x'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kurangkan $3 y^{2} x'$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{4} + 5 x^{4} x' + 4 x^{3} y x' - 3 y^{2} x' = - 3 y^{2} + 6 x y$

Langkah 5.2

Kurangkan $x^{4}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$5 x^{4} x' + 4 x^{3} y x' - 3 y^{2} x' = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

Langkah 5.3

Faktorkan $x'$ dari $5 x^{4} x' + 4 x^{3} y x' - 3 y^{2} x'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Faktorkan $x'$ dari $5 x^{4} x'$ .

$x' (5 x^{4}) + 4 x^{3} y x' - 3 y^{2} x' = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

Langkah 5.3.2

Faktorkan $x'$ dari $4 x^{3} y x'$ .

$x' (5 x^{4}) + x' (4 x^{3} y) - 3 y^{2} x' = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

Langkah 5.3.3

Faktorkan $x'$ dari $- 3 y^{2} x'$ .

$x' (5 x^{4}) + x' (4 x^{3} y) + x' (- 3 y^{2}) = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

Langkah 5.3.4

Faktorkan $x'$ dari $x' (5 x^{4}) + x' (4 x^{3} y)$ .

$x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y) + x' (- 3 y^{2}) = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

Langkah 5.3.5

Faktorkan $x'$ dari $x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y) + x' (- 3 y^{2})$ .

$x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}) = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

Langkah 5.4

Bagi setiap suku pada $x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}) = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$ dengan $5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Bagilah setiap suku di $x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}) = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$ dengan $5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$ .

$\frac{x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2})}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} = \frac{- 3 y^{2}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{6 x y}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{- x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

Langkah 5.4.2.1.2

Bagilah $x'$ dengan $1$ .

$x' = \frac{- 3 y^{2}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{6 x y}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{- x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Langkah 5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x' = - \frac{(3) y^{2}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{6 x y}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{- x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Langkah 5.4.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x' = - \frac{3 y^{2}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{6 x y}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} - \frac{x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Langkah 5.4.3.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x' = \frac{- 3 y^{2} + 6 x y}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} - \frac{x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Langkah 5.4.3.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x' = \frac{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Langkah 5.4.3.2.3

Faktorkan $- 1$ dari $- 3 y^{2}$ .

$x' = \frac{- (3 y^{2}) + 6 x y - x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Langkah 5.4.3.2.4

Faktorkan $- 1$ dari $6 x y$ .

$x' = \frac{- (3 y^{2}) - (- 6 x y) - x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Langkah 5.4.3.2.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (3 y^{2}) - (- 6 x y)$ .

$x' = \frac{- (3 y^{2} - 6 x y) - x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Langkah 5.4.3.2.6

Faktorkan $- 1$ dari $- x^{4}$ .

$x' = \frac{- (3 y^{2} - 6 x y) - (x^{4})}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Langkah 5.4.3.2.7

Faktorkan $- 1$ dari $- (3 y^{2} - 6 x y) - (x^{4})$ .

$x' = \frac{- (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Langkah 5.4.3.2.8

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.2.8.1

Tulis kembali $- (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})$ sebagai $- 1 (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})$ .

$x' = \frac{- 1 (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Langkah 5.4.3.2.8.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x' = - \frac{3 y^{2} - 6 x y + x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Langkah 6

Ganti $x'$ dengan $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{3 y^{2} - 6 x y + x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$