Kalkulus Contoh

$\int_{e}^{\infty} \frac{1}{x \ln^{2} (x)} d x$

Langkah 1

Tulis integral sebagai limit ketika $t$ mendekati $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{e}^{t} \frac{1}{x \ln^{2} (x)} d x$

Langkah 2

Biarkan $u = \ln (x)$ . Kemudian $d u = \frac{1}{x} d x$ sehingga $x d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u = \ln (x)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Langkah 2.1.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Langkah 2.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (e)$

Langkah 2.3

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 2.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (t)$

Langkah 2.5

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \ln (t)$

Langkah 2.6

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{\ln (t)} \frac{1}{u^{2}} d u$

Langkah 3

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan $u^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{\ln (t)} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Langkah 3.2

Kalikan eksponen dalam ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{\ln (t)} u^{2 \cdot - 1} d u$

Langkah 3.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{\ln (t)} u^{- 2} d u$

Langkah 4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- 2}$ terhadap $u$ adalah $- u^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} - u^{- 1}]_{1}^{\ln (t)}$

Langkah 5

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Evaluasi $- u^{- 1}$ pada $\ln (t)$ dan pada $1$ .

$lim_{t \to \infty} (- \ln^{- 1} (t)) + 1^{- 1}$

Langkah 5.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$lim_{t \to \infty} - \ln^{- 1} (t) + 1$

Langkah 6

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $t$ mendekati $\infty$ .

$- lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (t) + lim_{t \to \infty} 1$

Langkah 6.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{1}{\ln (t)} + lim_{t \to \infty} 1$

Langkah 6.3

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{\ln (t)}$ mendekati $0$ .

$- 0 + lim_{t \to \infty} 1$

Langkah 6.4

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$0 + 1$

Langkah 6.4.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$1$