Kalkulus Contoh

$\int_{- \frac{π}{4}}^{7 \frac{π}{4}} (\sin (x) + \cos (x)) d x$

Langkah 1

Hilangkan tanda kurung.

$\int_{- \frac{π}{4}}^{7 (\frac{π}{4})} \sin (x) + \cos (x) d x$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{- \frac{π}{4}}^{7 (\frac{π}{4})} \sin (x) d x + \int_{- \frac{π}{4}}^{7 (\frac{π}{4})} \cos (x) d x$

Langkah 3

Integral dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- \cos (x)$ .

$- \cos (x)]_{- \frac{π}{4}}^{7 (\frac{π}{4})} + \int_{- \frac{π}{4}}^{7 (\frac{π}{4})} \cos (x) d x$

Langkah 4

Integral dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\sin (x)$ .

$- \cos (x)]_{- \frac{π}{4}}^{7 (\frac{π}{4})} + \sin (x)]_{- \frac{π}{4}}^{7 (\frac{π}{4})}$

Langkah 5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $- \cos (x)]_{- \frac{π}{4}}^{7 (\frac{π}{4})}$ dan $\sin (x)]_{- \frac{π}{4}}^{7 (\frac{π}{4})}$ .

$- \cos (x) + \sin (x)]_{- \frac{π}{4}}^{7 (\frac{π}{4})}$

Langkah 5.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Evaluasi $- \cos (x) + \sin (x)$ pada $7 (\frac{π}{4})$ dan pada $- \frac{π}{4}$ .

$(- \cos (7 \frac{π}{4}) + \sin (7 \frac{π}{4})) - (- \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Gabungkan $7$ dan $\frac{π}{4}$ .

$- \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (7 \frac{π}{4}) - (- \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

Langkah 5.2.2.2

Gabungkan $7$ dan $\frac{π}{4}$ .

$- \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{4}) - (- \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$- \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{4}) - (- \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

Langkah 6.1.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{7 π}{4}) - (- \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

Langkah 6.1.3

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{4}) - (- \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

Langkah 6.1.4

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

Langkah 6.1.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.5.1

Tambahkan rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

Langkah 6.1.5.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \cos (\frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

Langkah 6.1.5.3

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (- \frac{π}{4}))$

Langkah 6.1.5.4

Tambahkan rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{7 π}{4}))$

Langkah 6.1.5.5

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{4}))$

Langkah 6.1.5.6

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Langkah 6.1.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Langkah 6.1.7

Kurangi $\sqrt{2}$ dengan $- \sqrt{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Langkah 6.1.8

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.8.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 \sqrt{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Langkah 6.1.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.8.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Langkah 6.1.8.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.1.8.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{- \sqrt{2}}{1}$

Langkah 6.1.8.2.4

Bagilah $- \sqrt{2}$ dengan $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - - \sqrt{2}$

Langkah 6.1.9

Kalikan $- - \sqrt{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.9.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \sqrt{2}$

Langkah 6.1.9.2

Kalikan $\sqrt{2}$ dengan $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}$

Langkah 6.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\sqrt{2} + \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Langkah 6.3

Kurangi $\sqrt{2}$ dengan $- \sqrt{2}$ .

$\sqrt{2} + \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Langkah 6.4

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{2} + \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Langkah 6.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\sqrt{2} + \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Langkah 6.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\sqrt{2} + \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt{2} + \frac{- \sqrt{2}}{1}$

Langkah 6.4.2.4

Bagilah $- \sqrt{2}$ dengan $1$ .

$\sqrt{2} - \sqrt{2}$

Langkah 6.5

Kurangi $\sqrt{2}$ dengan $\sqrt{2}$ .

$0$