Kalkulus Contoh

$x^{2} y + 2 y^{3} = 3 x + 2 y$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y + 2 y^{3}) = \frac{d}{d x} (3 x + 2 y)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} y + 2 y^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Langkah 2.2.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 y^{3}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (3 y^{2} y')$

Langkah 2.3.4

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 6 y^{2} y'$

Langkah 2.4

Susun kembali suku-suku.

$x^{2} y' + 2 x y + 6 y^{2} y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x + 2 y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 3.2.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 y$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 + 2 \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$3 + 2 y'$

Langkah 3.4

Susun kembali suku-suku.

$2 y' + 3$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$x^{2} y' + 2 x y + 6 y^{2} y' = 2 y' + 3$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kurangkan $2 y'$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} y' + 2 x y + 6 y^{2} y' - 2 y' = 3$

Langkah 5.2

Kurangkan $2 x y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} y' + 6 y^{2} y' - 2 y' = 3 - 2 x y$

Langkah 5.3

Faktorkan $y'$ dari $x^{2} y' + 6 y^{2} y' - 2 y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Faktorkan $y'$ dari $x^{2} y'$ .

$y' x^{2} + 6 y^{2} y' - 2 y' = 3 - 2 x y$

Langkah 5.3.2

Faktorkan $y'$ dari $6 y^{2} y'$ .

$y' (x^{2}) + y' (6 y^{2}) - 2 y' = 3 - 2 x y$

Langkah 5.3.3

Faktorkan $y'$ dari $- 2 y'$ .

$y' (x^{2}) + y' (6 y^{2}) + y' \cdot - 2 = 3 - 2 x y$

Langkah 5.3.4

Faktorkan $y'$ dari $y' (x^{2}) + y' (6 y^{2})$ .

$y' (x^{2} + 6 y^{2}) + y' \cdot - 2 = 3 - 2 x y$

Langkah 5.3.5

Faktorkan $y'$ dari $y' (x^{2} + 6 y^{2}) + y' \cdot - 2$ .

$y' (x^{2} + 6 y^{2} - 2) = 3 - 2 x y$

Langkah 5.4

Bagi setiap suku pada $y' (x^{2} + 6 y^{2} - 2) = 3 - 2 x y$ dengan $x^{2} + 6 y^{2} - 2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Bagilah setiap suku di $y' (x^{2} + 6 y^{2} - 2) = 3 - 2 x y$ dengan $x^{2} + 6 y^{2} - 2$ .

$\frac{y' (x^{2} + 6 y^{2} - 2)}{x^{2} + 6 y^{2} - 2} = \frac{3}{x^{2} + 6 y^{2} - 2} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + 6 y^{2} - 2}$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} + 6 y^{2} - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (x^{2} + 6 y^{2} - 2)}{x^{2} + 6 y^{2} - 2} = \frac{3}{x^{2} + 6 y^{2} - 2} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + 6 y^{2} - 2}$

Langkah 5.4.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{3}{x^{2} + 6 y^{2} - 2} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + 6 y^{2} - 2}$

Langkah 5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{3 - 2 x y}{x^{2} + 6 y^{2} - 2}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 - 2 x y}{x^{2} + 6 y^{2} - 2}$