Kalkulus Contoh

$y = \ln (e^{x} + x e^{x})$

Langkah 1

Biarkan $y = f (x)$ , ambil logaritma alami dari kedua ruas $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (\ln (e^{x} + x e^{x}))$

Langkah 2

Diferensialkan persamaan menggunakan kaidah rantai, dengan menganggap $y$ adalah fungsi dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan ruas bagian kiri $\ln (y)$ menggunakan kaidah rantai.

$\frac{y'}{y} = \ln (\ln (e^{x} + x e^{x}))$

Langkah 2.2

Diferensialkan ruas bagian kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan $\ln (\ln (e^{x} + x e^{x}))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln (\ln (e^{x} + x e^{x}))]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = \ln (e^{x} + x e^{x})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $\ln (e^{x} + x e^{x})$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x e^{x})]$

Langkah 2.2.2.2

Turunan dari $\ln (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x e^{x})]$

Langkah 2.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\ln (e^{x} + x e^{x})$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{x} + x e^{x})} \frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x e^{x})]$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = e^{x} + x e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $e^{x} + x e^{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{x} + x e^{x})} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}])$

Langkah 2.2.3.2

Turunan dari $\ln (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{x} + x e^{x})} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}])$

Langkah 2.2.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $e^{x} + x e^{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{x} + x e^{x})} (\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}])$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Penjumlahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Kalikan $\frac{1}{e^{x} + x e^{x}}$ dengan $\frac{1}{\ln (e^{x} + x e^{x})}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}]$

Langkah 2.2.4.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{x} + x e^{x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x e^{x}])$

Langkah 2.2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (e^{x} + \frac{d}{d x} [x e^{x}])$

Langkah 2.2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (e^{x} + x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.2.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (e^{x} + x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.2.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.8.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (e^{x} + x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Langkah 2.2.8.2

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.8.2.1

Kalikan $e^{x}$ dengan $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (e^{x} + x e^{x} + e^{x})$

Langkah 2.2.8.2.2

Tambahkan $e^{x}$ dan $e^{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (x e^{x} + 2 e^{x})$

Langkah 2.2.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.9.1

Susun kembali faktor-faktor dari $\frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (x e^{x} + 2 e^{x})$ .

$\frac{y'}{y} = (x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

Langkah 2.2.9.2

Faktorkan $e^{x}$ dari $e^{x} + x e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.9.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$\frac{y'}{y} = (x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{(e^{x} \cdot 1 + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

Langkah 2.2.9.2.2

Faktorkan $e^{x}$ dari $x e^{x}$ .

$\frac{y'}{y} = (x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{(e^{x} \cdot 1 + e^{x} x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

Langkah 2.2.9.2.3

Faktorkan $e^{x}$ dari $e^{x} \cdot 1 + e^{x} x$ .

$\frac{y'}{y} = (x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

Langkah 2.2.9.3

Kalikan $x e^{x} + 2 e^{x}$ dengan $\frac{1}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x e^{x} + 2 e^{x}}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

Langkah 2.2.9.4

Faktorkan $e^{x}$ dari $x e^{x} + 2 e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.9.4.1

Faktorkan $e^{x}$ dari $x e^{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{e^{x} x + 2 e^{x}}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

Langkah 2.2.9.4.2

Faktorkan $e^{x}$ dari $2 e^{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{e^{x} x + e^{x} \cdot 2}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

Langkah 2.2.9.4.3

Faktorkan $e^{x}$ dari $e^{x} x + e^{x} \cdot 2$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{e^{x} (x + 2)}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

Langkah 2.2.9.5

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.9.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y'}{y} = \frac{e^{x} (x + 2)}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

Langkah 2.2.9.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y'}{y} = \frac{x + 2}{(1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

Langkah 2.2.9.6

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{x + 2}{(1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x + 2}{\ln (e^{x} + x e^{x}) (1 + x)}$

Langkah 3

Isolasikan $y'$ dan substitusikan fungsi asli untuk $y$ di sisi kanan.

$y' = \frac{x + 2}{\ln (e^{x} + x e^{x}) (1 + x)} \ln (e^{x} + x e^{x})$

Langkah 4

Batalkan faktor persekutuan dari $\ln (e^{x} + x e^{x})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{x + 2}{\ln (e^{x} + x e^{x}) (1 + x)} \ln (e^{x} + x e^{x})$

Langkah 4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{x + 2}{1 + x}$