Kalkulus Contoh

$\frac{2 x}{x^{2} + y^{2}}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Karena $2 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\frac{2 x}{x^{2} + y^{2}}$ terhadap $y$ adalah $2 x \frac{d}{d y} [\frac{1}{x^{2} + y^{2}}]$ .

$2 x \frac{d}{d y} [\frac{1}{x^{2} + y^{2}}]$

Langkah 1.2

Tulis kembali $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ sebagai ${(x^{2} + y^{2})}^{- 1}$ .

$2 x \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{- 1}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = y^{- 1}$ dan $g (y) = x^{2} + y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} + y^{2}$ .

$2 x (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$2 x (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + y^{2}$ .

$2 x (- {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Langkah 3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$- 2 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]))$

Langkah 3.3

Karena $x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x^{2}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$- 2 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]))$

Langkah 3.4

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$- 2 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Langkah 3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- 2 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (2 y))$

Langkah 3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri ${(x^{2} + y^{2})}^{- 2}$ .

$- 2 x (2 \cdot {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} y)$

Langkah 3.6.2

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$- 4 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} y)$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 x (\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} y)$

Langkah 4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Gabungkan $\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ dan $y$ .

$- 4 x \frac{y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Langkah 4.2.2

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ .

$x \frac{- 4 y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Langkah 4.2.3

Gabungkan $x$ dan $\frac{- 4 y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ .

$\frac{x (- 4 y)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Langkah 4.2.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{x \cdot 4 y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Langkah 4.2.5

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $x$ .

$- \frac{4 x y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$