Kalkulus Contoh

$y = 2 \sqrt{x} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Langkah 1

Tulis kembali sisi kanan dengan eksponen rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Langkah 1.2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Langkah 3

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 4

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 4.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 4.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 4.2.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 4.2.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 4.2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 4.2.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 4.2.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 4.2.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 4.2.8

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 4.2.9

Gabungkan $2$ dan $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 4.2.10

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 4.2.11

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 4.2.12

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 4.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- \frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 4.3.2

Tulis kembali $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ sebagai ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Langkah 4.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Langkah 4.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Langkah 4.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Langkah 4.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Langkah 4.3.5

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Langkah 4.3.5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Langkah 4.3.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Langkah 4.3.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Langkah 4.3.6

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Langkah 4.3.7

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Langkah 4.3.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Langkah 4.3.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.9.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Langkah 4.3.9.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Langkah 4.3.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Langkah 4.3.11

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Langkah 4.3.12

Gabungkan $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ dan $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

Langkah 4.3.13

Kalikan $x^{- \frac{1}{2}}$ dengan $x^{- 1}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.13.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

Langkah 4.3.13.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

Langkah 4.3.13.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Langkah 4.3.13.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Langkah 4.3.13.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.13.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

Langkah 4.3.13.5.2

Kurangi $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

Langkah 4.3.13.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Langkah 4.3.14

Pindahkan $x^{- \frac{3}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Langkah 4.3.15

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.3.16

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.3.17

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (2 x^{\frac{3}{2}})}$

Langkah 4.3.18

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$