Kalkulus Contoh

$x^{2} \frac{d y}{d x} = y - x y$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagi setiap suku pada $x^{2} \frac{d y}{d x} = y - x y$ dengan $x^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Bagilah setiap suku di $x^{2} \frac{d y}{d x} = y - x y$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{- x y}{x^{2}}$

Langkah 1.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{- x y}{x^{2}}$

Langkah 1.1.2.1.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{- x y}{x^{2}}$

Langkah 1.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $x$ dan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1.1.1

Faktorkan $x$ dari $- x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{x (- 1 y)}{x^{2}}$

Langkah 1.1.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1.1.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{x (- 1 y)}{x \cdot x}$

Langkah 1.1.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{x (- 1 y)}{x \cdot x}$

Langkah 1.1.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{- 1 y}{x}$

Langkah 1.1.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y}{x}$

Langkah 1.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menuliskan $- \frac{y}{x}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y}{x} \cdot \frac{x}{x}$

Langkah 1.2.2

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $x^{2}$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Kalikan $\frac{y}{x}$ dengan $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y x}{x \cdot x}$

Langkah 1.2.2.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y x}{x^{1} x}$

Langkah 1.2.2.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y x}{x^{1} x^{1}}$

Langkah 1.2.2.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y x}{x^{1 + 1}}$

Langkah 1.2.2.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y x}{x^{2}}$

Langkah 1.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - y x}{x^{2}}$

Langkah 1.2.4

Faktorkan $y$ dari $y - y x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{1} - y x}{x^{2}}$

Langkah 1.2.4.2

Faktorkan $y$ dari $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 1 - y x}{x^{2}}$

Langkah 1.2.4.3

Faktorkan $y$ dari $- y x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 1 + y (- x)}{x^{2}}$

Langkah 1.2.4.4

Faktorkan $y$ dari $y \cdot 1 + y (- x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot (1 - x)}{x^{2}}$

Langkah 1.2.4.5

Kalikan $y$ dengan $1 - x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (1 - x)}{x^{2}}$

Langkah 1.3

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{1 - x}{x^{2}}$

Langkah 1.4

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{1 - x}{x^{2}})$

Langkah 1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{1 - x}{x^{2}})$

Langkah 1.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - x}{x^{2}}$

Langkah 1.6

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1 - x}{x^{2}} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1 - x}{x^{2}} d x$

Langkah 2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1 - x}{x^{2}} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Pindahkan $x^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 - x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Langkah 2.3.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 - x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Langkah 2.3.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 - x) x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.2

Kalikan $(1 - x) x^{- 2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 x^{- 2} - x \cdot x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Kalikan $x^{- 2}$ dengan $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} - x \cdot x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.3.2

Kalikan $x$ dengan $x^{- 2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.1

Pindahkan $x^{- 2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} - (x^{- 2} x) d x$

Langkah 2.3.3.2.2

Kalikan $x^{- 2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} - (x^{- 2} x^{1}) d x$

Langkah 2.3.3.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 2 + 1} d x$

Langkah 2.3.3.2.3

Tambahkan $- 2$ dan $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} d x$

Langkah 2.3.4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} d x + \int - x^{- 1} d x$

Langkah 2.3.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 2}$ terhadap $x$ adalah $- x^{- 1}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} + \int - x^{- 1} d x$

Langkah 2.3.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} - \int x^{- 1} d x$

Langkah 2.3.7

Integral dari $x^{- 1}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} - (\ln (| x |) + C_{3})$

Langkah 2.3.8

Sederhanakan.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{x} - \ln (| x |) + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{x} - \ln (| x |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| y |) + \ln (| x |) = - \frac{1}{x} + C$

Langkah 3.2

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | x |) = - \frac{1}{x} + C$

Langkah 3.3

Untuk mengalikan nilai-nilai mutlak, kalikan suku-suku di dalam masing-masing nilai mutlaknya.

$\ln (| y x |) = - \frac{1}{x} + C$

Langkah 3.4

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| y x |)} = e^{- \frac{1}{x} + C}$

Langkah 3.5

Tulis kembali $\ln (| y x |) = - \frac{1}{x} + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{x} + C} = | y x |$

Langkah 3.6

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| y x | = e^{- \frac{1}{x} + C}$ .

$| y x | = e^{- \frac{1}{x} + C}$

Langkah 3.6.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y x = \pm e^{- \frac{1}{x} + C}$

Langkah 3.6.3

Bagi setiap suku pada $y x = \pm e^{- \frac{1}{x} + C}$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.3.1

Bagilah setiap suku di $y x = \pm e^{- \frac{1}{x} + C}$ dengan $x$ .

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{- \frac{1}{x} + C}}{x}$

Langkah 3.6.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{- \frac{1}{x} + C}}{x}$

Langkah 3.6.3.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{1}{x} + C}}{x}$

Langkah 3.6.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.3.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.3.3.1.1

Untuk menuliskan $C$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{1}{x} + \frac{C x}{x}}}{x}$

Langkah 3.6.3.3.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{\pm e^{\frac{- 1 + C x}{x}}}{x}$