Kalkulus Contoh

$\frac{1}{x^{2} - 1}$

Langkah 1

Tulis $\frac{1}{x^{2} - 1}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \frac{1}{x^{2} - 1} d x$

Langkah 4

Tulis pecahan menggunakan penguraian pecahan parsial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Uraikan pecahan dan kalikan dengan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Faktorkan pecahannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} - 1^{2}}$

Langkah 4.1.1.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$

Langkah 4.1.2

Untuk setiap faktor pada penyebut, buat pecahan baru menggunakan faktor sebagai penyebutnya, dan nilai yang tidak diketahui sebagai pembilangnya. karena faktor pada penyebutnya linear, letakkan sebuah variabel di tempat $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Langkah 4.1.3

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

Langkah 4.1.4

Kalikan setiap pecahan dalam persamaan dengan penyebut dari pernyataan awalnya. Dalam hal ini, penyebutnya adalah $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Langkah 4.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Langkah 4.1.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Langkah 4.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari $x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Langkah 4.1.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Langkah 4.1.7

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.7.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.7.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$1 = \frac{A (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Langkah 4.1.7.1.2

Bagilah $(A) (x - 1)$ dengan $1$ .

$1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Langkah 4.1.7.2

Terapkan sifat distributif.

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Langkah 4.1.7.3

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $A$ .

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Langkah 4.1.7.4

Tulis kembali $- 1 A$ sebagai $- A$ .

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Langkah 4.1.7.5

Batalkan faktor persekutuan dari $x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.7.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Langkah 4.1.7.5.2

Bagilah $(B) (x + 1)$ dengan $1$ .

$1 = A x - A + (B) (x + 1)$

Langkah 4.1.7.6

Terapkan sifat distributif.

$1 = A x - A + B x + B \cdot 1$

Langkah 4.1.7.7

Kalikan $B$ dengan $1$ .

$1 = A x - A + B x + B$

Langkah 4.1.8

Pindahkan $- A$ .

$1 = A x + B x - A + B$

Langkah 4.2

Buatlah persamaan untuk variabel pecahan parsial dan gunakan untuk membuat sistem persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $x$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$0 = A + B$

Langkah 4.2.2

Buat persamaan untuk variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien suku yang tidak memuat $x$ . Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$1 = - 1 A + B$

Langkah 4.2.3

Buat sistem persamaan untuk menentukan koefisien dari pecahan parsialnya.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

Langkah 4.3

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Selesaikan $A$ dalam $0 = A + B$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

Langkah 4.3.1.2

Kurangkan $B$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

Langkah 4.3.2

Substitusikan semua kemunculan $A$ dengan $- B$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Substitusikan semua kemunculan $A$ dalam $1 = - 1 A + B$ dengan $- B$ .

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

Langkah 4.3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Sederhanakan $- 1 (- B) + B$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1.1

Kalikan $- 1 (- B)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

Langkah 4.3.2.2.1.1.2

Kalikan $B$ dengan $1$ .

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

Langkah 4.3.2.2.1.2

Tambahkan $B$ dan $B$ .

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

Langkah 4.3.3

Selesaikan $B$ dalam $1 = 2 B$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $2 B = 1$ .

$2 B = 1$

$A = - B$

Langkah 4.3.3.2

Bagi setiap suku pada $2 B = 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.2.1

Bagilah setiap suku di $2 B = 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Langkah 4.3.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Langkah 4.3.3.2.2.1.2

Bagilah $B$ dengan $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Langkah 4.3.4

Substitusikan semua kemunculan $B$ dengan $\frac{1}{2}$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Substitusikan semua kemunculan $B$ dalam $A = - B$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Langkah 4.3.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Langkah 4.3.5

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Langkah 4.4

Ganti masing-masing koefisien pecahan parsial dalam $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ dengan nilai-nilai yang didapat dari $A$ dan $B$ .

$\frac{- \frac{1}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Langkah 4.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Langkah 4.5.2

Kalikan $\frac{1}{x + 1}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{(x + 1) \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Langkah 4.5.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x + 1$ .

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Langkah 4.5.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Langkah 4.5.5

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{x - 1}$ .

$\int - \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Langkah 6

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} d x) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Langkah 8

Biarkan $u_{1} = x + 1$ . Kemudian $d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Biarkan $u_{1} = x + 1$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Diferensialkan $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 8.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 8.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 8.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 8.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 8.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Langkah 9

Integral dari $\frac{1}{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Langkah 10

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} d x$

Langkah 11

Biarkan $u_{2} = x - 1$ . Kemudian $d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Biarkan $u_{2} = x - 1$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Diferensialkan $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Langkah 11.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 11.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 11.1.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 11.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 11.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 12

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Langkah 13

Sederhanakan.

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Langkah 14

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x + 1$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Langkah 14.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x - 1$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |) + C$

Langkah 15

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |) + C$