Matematika Dasar Contoh

$\frac{\sqrt{3} (\cos (315) + i \sin (315))}{\sqrt{6} (\cos (45) + i \sin (45))}$

Langkah 1

Gabungkan $\sqrt{3}$ dan $\sqrt{6}$ ke dalam akar tunggal.

$\frac{\sqrt{\frac{3}{6}} (\cos (315) + i \sin (315))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Langkah 2

Hapus faktor persekutuan dari $3$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{\sqrt{\frac{3 (1)}{6}} (\cos (315) + i \sin (315))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Langkah 2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}} (\cos (315) + i \sin (315))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Langkah 2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}} (\cos (315) + i \sin (315))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2}} (\cos (315) + i \sin (315))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Langkah 3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2}} (\cos (45) + i \sin (315))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Langkah 3.2

Nilai eksak dari $\cos (45)$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (315))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Langkah 3.3

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} + i (- \sin (45)))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Langkah 3.4

Nilai eksak dari $\sin (45)$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2}}{2}))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Langkah 3.5

Gabungkan $i$ dan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Langkah 3.6

Tulis kembali $\sqrt{\frac{1}{2}}$ sebagai $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Langkah 3.7

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Langkah 3.8

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Langkah 3.9

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Langkah 3.9.2

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Langkah 3.9.3

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Langkah 3.9.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Langkah 3.9.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Langkah 3.9.6

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Langkah 3.9.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Langkah 3.9.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Langkah 3.9.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Langkah 3.9.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2^{1}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Langkah 3.9.6.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Langkah 3.10

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Langkah 4

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Nilai eksak dari $\cos (45)$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (45)}$

Langkah 4.2

Nilai eksak dari $\sin (45)$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Langkah 4.3

Gabungkan $i$ dan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{i \sqrt{2}}{2}}$

Langkah 4.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Langkah 5

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ dengan $\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} - i \sqrt{2})}{2 \cdot 2}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Langkah 5.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} - i \sqrt{2})}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Langkah 6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- i \sqrt{2})}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Langkah 6.2

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$\frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{2} (- i \sqrt{2})}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Langkah 6.3

Kalikan $\sqrt{2} (- i \sqrt{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 2} - i ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Langkah 6.3.2

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 2} - i ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Langkah 6.3.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 2} - i {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Langkah 6.3.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 2} - i {\sqrt{2}}^{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Langkah 6.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{4} - i {\sqrt{2}}^{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Langkah 6.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2^{2}} - i {\sqrt{2}}^{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Langkah 6.4.3

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\frac{\frac{2 - i {\sqrt{2}}^{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Langkah 6.4.4

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 - i {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Langkah 6.4.4.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{2 - i \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Langkah 6.4.4.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{\frac{2 - i \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Langkah 6.4.4.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.4.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{2 - i \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Langkah 6.4.4.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{2 - i \cdot 2^{1}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Langkah 6.4.4.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{\frac{2 - i \cdot 2}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Langkah 6.4.5

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{\frac{2 - 2 i}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Langkah 6.5

Hapus faktor persekutuan dari $2 - 2 i$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{\frac{2 (1) - 2 i}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Langkah 6.5.2

Faktorkan $2$ dari $- 2 i$ .

$\frac{\frac{2 (1) + 2 (- i)}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Langkah 6.5.3

Faktorkan $2$ dari $2 (1) + 2 (- i)$ .

$\frac{\frac{2 (1 - i)}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Langkah 6.5.4

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.4.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{\frac{2 (1 - i)}{2 \cdot 2}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Langkah 6.5.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{2 (1 - i)}{2 \cdot 2}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Langkah 6.5.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{1 - i}{2}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Langkah 7

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{1 - i}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}$

Langkah 8

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 - i}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}$

Langkah 8.2

Tulis kembali pernyataannya.

$(1 - i) \frac{1}{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}$

Langkah 9

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}$ .

$(1 - i) (\frac{1}{\sqrt{2} + i \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{\sqrt{2} - i \sqrt{2}})$

Langkah 10

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}$ .

$(1 - i) \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{(\sqrt{2} + i \sqrt{2}) (\sqrt{2} - i \sqrt{2})}$

Langkah 10.2

Perluas penyebut menggunakan metode FOIL.

$(1 - i) \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2} - i {\sqrt{2}}^{2} + i {\sqrt{2}}^{2} - i^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

Langkah 10.3

Sederhanakan.

$(1 - i) \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4}$

Langkah 10.4

Terapkan sifat distributif.

$1 \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4} - i \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4}$

Langkah 10.5

Kalikan $\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4}$ dengan $1$ .

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4} - i \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4}$

Langkah 10.6

Gabungkan $\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4}$ dan $i$ .

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4} - \frac{(\sqrt{2} - i \sqrt{2}) i}{4}$

Langkah 10.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - (\sqrt{2} - i \sqrt{2}) i}{4}$

Langkah 11

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} + (- \sqrt{2} - (- i \sqrt{2})) i}{4}$

Langkah 11.2

Kalikan $- (- i \sqrt{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} + (- \sqrt{2} + 1 (i \sqrt{2})) i}{4}$

Langkah 11.2.2

Kalikan $\sqrt{2}$ dengan $1$ .

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} + (- \sqrt{2} + \sqrt{2} i) i}{4}$

Langkah 11.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i + \sqrt{2} i i}{4}$

Langkah 11.4

Kalikan $\sqrt{2} i i$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.1

Naikkan $i$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i + \sqrt{2} (i^{1} i)}{4}$

Langkah 11.4.2

Naikkan $i$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i + \sqrt{2} (i^{1} i^{1})}{4}$

Langkah 11.4.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i + \sqrt{2} i^{1 + 1}}{4}$

Langkah 11.4.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i + \sqrt{2} i^{2}}{4}$

Langkah 11.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.1

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i + \sqrt{2} \cdot - 1}{4}$

Langkah 11.5.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i - 1 \cdot \sqrt{2}}{4}$

Langkah 11.5.3

Tulis kembali $- 1 \sqrt{2}$ sebagai $- \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i - \sqrt{2}}{4}$

Langkah 12

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Kurangi $\sqrt{2}$ dengan $\sqrt{2}$ .

$\frac{- i \sqrt{2} - \sqrt{2} i + 0}{4}$

Langkah 12.2

Susun kembali faktor-faktor dari $- \sqrt{2} i$ .

$\frac{- i \sqrt{2} - i \sqrt{2} + 0}{4}$

Langkah 12.3

Kurangi $i \sqrt{2}$ dengan $- i \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 i \sqrt{2} + 0}{4}$

Langkah 12.4

Tambahkan $- 2 i \sqrt{2}$ dan $0$ .

$\frac{- 2 i \sqrt{2}}{4}$

Langkah 12.5

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 i \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- i \sqrt{2})}{4}$

Langkah 12.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{2 (- i \sqrt{2})}{2 (2)}$

Langkah 12.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (- i \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Langkah 12.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- i \sqrt{2}}{2}$

Langkah 12.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{i \sqrt{2}}{2}$