Matematika Dasar Contoh

$\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2} = \frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1}$

Langkah 1

Ambil loga dari kedua sisi persamaan.

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) = \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$

Langkah 2

Tulis kembali $\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2})$ sebagai $\ln (2^{n} + 2^{- n}) - \ln (2)$ .

$\ln (2^{n} + 2^{- n}) - \ln (2) = \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$

Langkah 3

Tulis kembali $\ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$ sebagai $\ln (1 + 4^{n}) - \ln (2^{n} + 1)$ .

$\ln (2^{n} + 2^{- n}) - \ln (2) = \ln (1 + 4^{n}) - \ln (2^{n} + 1)$

Langkah 4

Selesaikan persamaan untuk $n$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) = \ln (1 + 4^{n}) - \ln (2^{n} + 1)$

Langkah 4.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) = \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$

Langkah 4.3

Pindahkan semua suku yang mengandung $n$ ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kurangkan $\ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) - \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1}) = 0$

Langkah 4.3.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}}{\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1}}) = 0$

Langkah 4.3.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2} \cdot \frac{2^{n} + 1}{1 + 4^{n}}) = 0$

Langkah 4.3.4

Kalikan $\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}$ dengan $\frac{2^{n} + 1}{1 + 4^{n}}$ .

$\ln (\frac{(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)}{2 (1 + 4^{n})}) = 0$

Langkah 4.4

Tulis kembali $\ln (\frac{(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)}{2 (1 + 4^{n})}) = 0$ dalam bentuk eksponensial menggunakan definisi logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b$ $\neq$ $1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)}{2 (1 + 4^{n})}$

Langkah 4.5

Kalikan silang untuk menghilangkan pecahan.

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = e^{0} (2 (1 + 4^{n}))$

Langkah 4.6

Sederhanakan $e^{0} (2 (1 + 4^{n}))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 1 (2 (1 + 4^{n}))$

Langkah 4.6.1.2

Kalikan $2 (1 + 4^{n})$ dengan $1$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 (1 + 4^{n})$

Langkah 4.6.2

Terapkan sifat distributif.

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 4^{n}$

Langkah 4.6.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2 \cdot 4^{n}$

Langkah 4.6.4

Kalikan $2 \cdot 4^{n}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.4.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2 \cdot {(2^{2})}^{n}$

Langkah 4.6.4.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2 \cdot 2^{2 n}$

Langkah 4.6.4.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2^{1 + 2 n}$

Langkah 4.7

Pindahkan semua suku yang mengandung $n$ ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Kurangkan $2^{1 + 2 n}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) - 2^{1 + 2 n} = 2$

Langkah 4.7.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.2.1

Perluas $(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$2^{n} (2^{n} + 1) + 2^{- n} (2^{n} + 1) - 2^{1 + 2 n} = 2$

Langkah 4.7.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$2^{n} \cdot 2^{n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} (2^{n} + 1) - 2^{1 + 2 n} = 2$

Langkah 4.7.2.1.3

Terapkan sifat distributif.

$2^{n} \cdot 2^{n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Langkah 4.7.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.2.2.1

Kalikan $2^{n}$ dengan $2^{n}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.2.2.1.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2^{n + n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Langkah 4.7.2.2.1.2

Tambahkan $n$ dan $n$ .

$2^{2 n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Langkah 4.7.2.2.2

Kalikan $2^{n}$ dengan $1$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Langkah 4.7.2.2.3

Kalikan $2^{- n}$ dengan $2^{n}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.2.2.3.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n + n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Langkah 4.7.2.2.3.2

Tambahkan $- n$ dan $n$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{0} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Langkah 4.7.2.2.4

Sederhanakan $2^{0}$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 1 + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Langkah 4.7.2.2.5

Kalikan $2^{- n}$ dengan $1$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 1 + 2^{- n} - 2^{1 + 2 n} = 2$

Langkah 4.8

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $n$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} - 2^{1 + 2 n} = 2 - 1$

Langkah 4.8.2

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} - 2^{1 + 2 n} = 1$

Langkah 4.9

Tulis kembali $2^{1 + 2 n}$ sebagai $2^{1} \cdot 2^{2 n}$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} - (2 \cdot 2^{2 n}) = 1$

Langkah 4.10

Tulis kembali $2^{2 n}$ sebagai eksponensiasi.

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + 2^{- n} - (2 \cdot 2^{2 n}) = 1$

Langkah 4.11

Tulis kembali $2^{- n}$ sebagai eksponensiasi.

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + {(2^{n})}^{- 1} - (2 \cdot 2^{2 n}) = 1$

Langkah 4.12

Tulis kembali $2^{2 n}$ sebagai eksponensiasi.

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + {(2^{n})}^{- 1} - (2 \cdot {(2^{n})}^{2}) = 1$

Langkah 4.13

Hilangkan tanda kurung.

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + {(2^{n})}^{- 1} - 2 {(2^{n})}^{2} = 1$

Langkah 4.14

Substitusikan $u$ untuk $2^{n}$ .

$u^{2} + u + u^{- 1} - 2 u^{2} = 1$

Langkah 4.15

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.15.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u^{2} + u + \frac{1}{u} - 2 u^{2} = 1$

Langkah 4.15.2

Evaluasi eksponennya.

$u^{2} + u + \frac{1}{u} - 1 \cdot (2 u^{2}) = 1$

Langkah 4.15.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$u^{2} + u + \frac{1}{u} - 2 u^{2} = 1$

Langkah 4.16

Kurangi $2 u^{2}$ dengan $u^{2}$ .

$- u^{2} + u + \frac{1}{u} = 1$

Langkah 4.17

Selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.17.1

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.17.1.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$1, 1, u, 1$

Langkah 4.17.1.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$u$

Langkah 4.17.2

Kalikan setiap suku pada $- u^{2} + u + \frac{1}{u} = 1$ dengan $u$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.17.2.1

Kalikan setiap suku dalam $- u^{2} + u + \frac{1}{u} = 1$ dengan $u$ .

$- u^{2} u + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

Langkah 4.17.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.17.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.17.2.2.1.1

Kalikan $u^{2}$ dengan $u$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.17.2.2.1.1.1

Pindahkan $u$ .

$- (u \cdot u^{2}) + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

Langkah 4.17.2.2.1.1.2

Kalikan $u$ dengan $u^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.17.2.2.1.1.2.1

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$- (u^{1} u^{2}) + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

Langkah 4.17.2.2.1.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- u^{1 + 2} + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

Langkah 4.17.2.2.1.1.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$- u^{3} + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

Langkah 4.17.2.2.1.2

Kalikan $u$ dengan $u$ .

$- u^{3} + u^{2} + \frac{1}{u} u = 1 u$

Langkah 4.17.2.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.17.2.2.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- u^{3} + u^{2} + \frac{1}{u} u = 1 u$

Langkah 4.17.2.2.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- u^{3} + u^{2} + 1 = 1 u$

Langkah 4.17.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.17.2.3.1

Kalikan $u$ dengan $1$ .

$- u^{3} + u^{2} + 1 = u$

Langkah 4.17.3

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.17.3.1

Kurangkan $u$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- u^{3} + u^{2} + 1 - u = 0$

Langkah 4.17.3.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.17.3.2.1

Susun kembali suku-suku.

$- u^{3} + u^{2} - u + 1 = 0$

Langkah 4.17.3.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.17.3.2.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(- u^{3} + u^{2}) - u + 1 = 0$

Langkah 4.17.3.2.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$u^{2} (- u + 1) + 1 (- u + 1) = 0$

Langkah 4.17.3.2.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $- u + 1$ .

$(- u + 1) (u^{2} + 1) = 0$

Langkah 4.17.3.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$- u + 1 = 0$

$u^{2} + 1 = 0$

Langkah 4.17.3.4

Atur $- u + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.17.3.4.1

Atur $- u + 1$ sama dengan $0$ .

$- u + 1 = 0$

Langkah 4.17.3.4.2

Selesaikan $- u + 1 = 0$ untuk $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.17.3.4.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- u = - 1$

Langkah 4.17.3.4.2.2

Bagi setiap suku pada $- u = - 1$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.17.3.4.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- u = - 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- u}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 4.17.3.4.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.17.3.4.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{u}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 4.17.3.4.2.2.2.2

Bagilah $u$ dengan $1$ .

$u = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 4.17.3.4.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.17.3.4.2.2.3.1

Bagilah $- 1$ dengan $- 1$ .

$u = 1$

Langkah 4.17.3.5

Atur $u^{2} + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.17.3.5.1

Atur $u^{2} + 1$ sama dengan $0$ .

$u^{2} + 1 = 0$

Langkah 4.17.3.5.2

Selesaikan $u^{2} + 1 = 0$ untuk $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.17.3.5.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$u^{2} = - 1$

Langkah 4.17.3.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{- 1}$

Langkah 4.17.3.5.2.3

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$u = \pm i$

Langkah 4.17.3.5.2.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.17.3.5.2.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$u = i$

Langkah 4.17.3.5.2.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$u = - i$

Langkah 4.17.3.5.2.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$u = i, - i$

Langkah 4.17.3.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(- u + 1) (u^{2} + 1) = 0$ benar.

$u = 1, i, - i$

Langkah 4.18

Substitusikan $1$ untuk $u$ dalam $u = 2^{n}$ .

$1 = 2^{n}$

Langkah 4.19

Selesaikan $1 = 2^{n}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.19.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $2^{n} = 1$ .

$2^{n} = 1$

Langkah 4.19.2

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (2^{n}) = \ln (1)$

Langkah 4.19.3

Perluas $\ln (2^{n})$ dengan memindahkan $n$ ke luar logaritma.

$n \ln (2) = \ln (1)$

Langkah 4.19.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.19.4.1

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$n \ln (2) = 0$

Langkah 4.19.5

Bagi setiap suku pada $n \ln (2) = 0$ dengan $\ln (2)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.19.5.1

Bagilah setiap suku di $n \ln (2) = 0$ dengan $\ln (2)$ .

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{0}{\ln (2)}$

Langkah 4.19.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.19.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\ln (2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.19.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{0}{\ln (2)}$

Langkah 4.19.5.2.1.2

Bagilah $n$ dengan $1$ .

$n = \frac{0}{\ln (2)}$

Langkah 4.19.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.19.5.3.1

Bagilah $0$ dengan $\ln (2)$ .

$n = 0$

Langkah 4.20

Substitusikan $i$ untuk $u$ dalam $u = 2^{n}$ .

$i = 2^{n}$

Langkah 4.21

Selesaikan $i = 2^{n}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.21.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $2^{n} = i$ .

$2^{n} = i$

Langkah 4.21.2

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (2^{n}) = \ln (i)$

Langkah 4.21.3

Perluas $\ln (2^{n})$ dengan memindahkan $n$ ke luar logaritma.

$n \ln (2) = \ln (i)$

Langkah 4.21.4

Bagi setiap suku pada $n \ln (2) = \ln (i)$ dengan $\ln (2)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.21.4.1

Bagilah setiap suku di $n \ln (2) = \ln (i)$ dengan $\ln (2)$ .

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$

Langkah 4.21.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.21.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\ln (2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.21.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$

Langkah 4.21.4.2.1.2

Bagilah $n$ dengan $1$ .

$n = \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$

Langkah 4.22

Substitusikan $- i$ untuk $u$ dalam $u = 2^{n}$ .

$- i = 2^{n}$

Langkah 4.23

Selesaikan $- i = 2^{n}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.23.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $2^{n} = - i$ .

$2^{n} = - i$

Langkah 4.23.2

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (2^{n}) = \ln (- i)$

Langkah 4.23.3

Persamaannya tidak dapat diselesaikan karena $\ln (- i)$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 4.23.4

Tidak ada penyelesaian untuk $2^{n} = - i$

Tidak ada penyelesaian

Langkah 4.24

Sebutkan penyelesaian yang membuat persamaannya benar.

$n = 0, \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$