Matematika Dasar Contoh

$\cos (θ) + \cos (3 θ) = 2 \cos (2 θ)$

Langkah 1

Kurangkan $2 \cos (2 θ)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\cos (θ) + \cos (3 θ) - 2 \cos (2 θ) = 0$

Langkah 2

Sederhanakan sisi kiri dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Gunakan identitas sudut tiga untuk mengubah $\cos (3 x)$ menjadi $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ .

$\cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 3 \cos (θ) - 2 \cos (2 θ) = 0$

Langkah 2.1.2

Gunakan identitas sudut ganda untuk mengubah $\cos (2 x)$ menjadi $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$\cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 3 \cos (θ) - 2 (2 \cos^{2} (θ) - 1) = 0$

Langkah 2.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 3 \cos (θ) - 2 (2 \cos^{2} (θ)) - 2 \cdot - 1 = 0$

Langkah 2.1.4

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$\cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 3 \cos (θ) - 4 \cos^{2} (θ) - 2 \cdot - 1 = 0$

Langkah 2.1.5

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$\cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 3 \cos (θ) - 4 \cos^{2} (θ) + 2 = 0$

Langkah 2.2

Kurangi $3 \cos (θ)$ dengan $\cos (θ)$ .

$- 2 \cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 4 \cos^{2} (θ) + 2 = 0$

Langkah 3

Faktorkan $- 2 \cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 4 \cos^{2} (θ) + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 \cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 4 \cos^{2} (θ) + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 \cos (θ)$ .

$2 (- \cos (θ)) + 4 \cos^{3} (θ) - 4 \cos^{2} (θ) + 2 = 0$

Langkah 3.1.2

Faktorkan $2$ dari $4 \cos^{3} (θ)$ .

$2 (- \cos (θ)) + 2 (2 \cos^{3} (θ)) - 4 \cos^{2} (θ) + 2 = 0$

Langkah 3.1.3

Faktorkan $2$ dari $- 4 \cos^{2} (θ)$ .

$2 (- \cos (θ)) + 2 (2 \cos^{3} (θ)) + 2 (- 2 \cos^{2} (θ)) + 2 = 0$

Langkah 3.1.4

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$2 (- \cos (θ)) + 2 (2 \cos^{3} (θ)) + 2 (- 2 \cos^{2} (θ)) + 2 (1) = 0$

Langkah 3.1.5

Faktorkan $2$ dari $2 (- \cos (θ)) + 2 (2 \cos^{3} (θ))$ .

$2 (- \cos (θ) + 2 \cos^{3} (θ)) + 2 (- 2 \cos^{2} (θ)) + 2 (1) = 0$

Langkah 3.1.6

Faktorkan $2$ dari $2 (- \cos (θ) + 2 \cos^{3} (θ)) + 2 (- 2 \cos^{2} (θ))$ .

$2 (- \cos (θ) + 2 \cos^{3} (θ) - 2 \cos^{2} (θ)) + 2 (1) = 0$

Langkah 3.1.7

Faktorkan $2$ dari $2 (- \cos (θ) + 2 \cos^{3} (θ) - 2 \cos^{2} (θ)) + 2 (1)$ .

$2 (- \cos (θ) + 2 \cos^{3} (θ) - 2 \cos^{2} (θ) + 1) = 0$

Langkah 3.2

Susun kembali suku-suku.

$2 (2 \cos^{3} (θ) - 2 \cos^{2} (θ) - \cos (θ) + 1) = 0$

Langkah 3.3

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$2 (2 \cos^{3} (θ) - 2 \cos^{2} (θ) - \cos (θ) + 1) = 0$

Langkah 3.3.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$2 (2 \cos^{2} (θ) (\cos (θ) - 1) - (\cos (θ) - 1)) = 0$

Langkah 3.4

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $\cos (θ) - 1$ .

$2 ((\cos (θ) - 1) (2 \cos^{2} (θ) - 1)) = 0$

Langkah 3.4.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$2 (\cos (θ) - 1) (2 \cos^{2} (θ) - 1) = 0$

Langkah 4

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$\cos (θ) - 1 = 0$

$2 \cos^{2} (θ) - 1 = 0$

Langkah 5

Atur $\cos (θ) - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Atur $\cos (θ) - 1$ sama dengan $0$ .

$\cos (θ) - 1 = 0$

Langkah 5.2

Selesaikan $\cos (θ) - 1 = 0$ untuk $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$\cos (θ) = 1$

Langkah 5.2.2

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $θ$ dari dalam kosinus.

$θ = \arccos (1)$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Nilai eksak dari $\arccos (1)$ adalah $0$ .

$θ = 0$

Langkah 5.2.4

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$θ = 2 π - 0$

Langkah 5.2.5

Kurangi $0$ dengan $2 π$ .

$θ = 2 π$

Langkah 5.2.6

Tentukan periode dari $\cos (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 5.2.6.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 5.2.6.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 5.2.6.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 5.2.7

Periode dari fungsi $\cos (θ)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 6

Atur $2 \cos^{2} (θ) - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur $2 \cos^{2} (θ) - 1$ sama dengan $0$ .

$2 \cos^{2} (θ) - 1 = 0$

Langkah 6.2

Selesaikan $2 \cos^{2} (θ) - 1 = 0$ untuk $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$2 \cos^{2} (θ) = 1$

Langkah 6.2.2

Bagi setiap suku pada $2 \cos^{2} (θ) = 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 \cos^{2} (θ) = 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 \cos^{2} (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 6.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cos^{2} (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 6.2.2.2.1.2

Bagilah $\cos^{2} (θ)$ dengan $1$ .

$\cos^{2} (θ) = \frac{1}{2}$

Langkah 6.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (θ) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.2.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.4.1

Tulis kembali $\sqrt{\frac{1}{2}}$ sebagai $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Langkah 6.2.4.2

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Langkah 6.2.4.3

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Langkah 6.2.4.4

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.4.4.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Langkah 6.2.4.4.2

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Langkah 6.2.4.4.3

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Langkah 6.2.4.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Langkah 6.2.4.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Langkah 6.2.4.4.6

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.4.4.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 6.2.4.4.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 6.2.4.4.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 6.2.4.4.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.4.4.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 6.2.4.4.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Langkah 6.2.4.4.6.5

Evaluasi eksponennya.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 6.2.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 6.2.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 6.2.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 6.2.6

Tulis setiap penyelesaian untuk menyelesaikan $θ$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 6.2.7

Selesaikan $θ$ dalam $\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.7.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $θ$ dari dalam kosinus.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Langkah 6.2.7.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.7.2.1

Nilai eksak dari $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ adalah $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Langkah 6.2.7.3

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$θ = 2 π - \frac{π}{4}$

Langkah 6.2.7.4

Sederhanakan $2 π - \frac{π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.7.4.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Langkah 6.2.7.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.7.4.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Langkah 6.2.7.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$θ = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Langkah 6.2.7.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.7.4.3.1

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$θ = \frac{8 π - π}{4}$

Langkah 6.2.7.4.3.2

Kurangi $π$ dengan $8 π$ .

$θ = \frac{7 π}{4}$

Langkah 6.2.7.5

Tentukan periode dari $\cos (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.7.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 6.2.7.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 6.2.7.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 6.2.7.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 6.2.7.6

Periode dari fungsi $\cos (θ)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 6.2.8

Selesaikan $θ$ dalam $\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.8.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $θ$ dari dalam kosinus.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Langkah 6.2.8.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.8.2.1

Nilai eksak dari $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ adalah $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Langkah 6.2.8.3

Fungsi kosinus negatif di kuadran kedua dan ketiga. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menghitung penyelesaian di kuadran ketiga.

$θ = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Langkah 6.2.8.4

Sederhanakan $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.8.4.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Langkah 6.2.8.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.8.4.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Langkah 6.2.8.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$θ = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Langkah 6.2.8.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.8.4.3.1

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$θ = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Langkah 6.2.8.4.3.2

Kurangi $3 π$ dengan $8 π$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Langkah 6.2.8.5

Tentukan periode dari $\cos (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.8.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 6.2.8.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 6.2.8.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 6.2.8.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 6.2.8.6

Periode dari fungsi $\cos (θ)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$θ = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 6.2.9

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 6.2.10

Gabungkan jawabannya.

$θ = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $2 (\cos (θ) - 1) (2 \cos^{2} (θ) - 1) = 0$ benar.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 8

Gabungkan $2 π n$ dan $2 π + 2 π n$ menjadi $2 π n$ .

$θ = 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$