Aljabar Contoh

$(1, 2)$ ,

$(4, 2)$ ,

$(5, 2)$

Langkah 1

Terdapat dua persamaan umum untuk elips.

Persamaan elips datar

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Persamaan elips tegak

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 2

$a$ merupakan jarak antara verteks

$(5, 2)$ dan titik pusat

$(1, 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan rumus jarak untuk menentukan jarak antara dua titik tersebut.

$Jarak = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Langkah 2.2

Substitusikan nilai-nilai aktual dari titik-titik ke dalam rumus jarak.

$a = \sqrt{{(5 - 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kurangi

$1$ dengan

$5$ .

$a = \sqrt{4^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Langkah 2.3.2

Naikkan

$4$ menjadi pangkat

$2$ .

$a = \sqrt{16 + {(2 - 2)}^{2}}$

Langkah 2.3.3

Kurangi

$2$ dengan

$2$ .

$a = \sqrt{16 + 0^{2}}$

Langkah 2.3.4

Menaikkan

$0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan

$0$ .

$a = \sqrt{16 + 0}$

Langkah 2.3.5

Tambahkan

$16$ dan

$0$ .

$a = \sqrt{16}$

Langkah 2.3.6

Tulis kembali

$16$ sebagai

$4^{2}$ .

$a = \sqrt{4^{2}}$

Langkah 2.3.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$a = 4$

Langkah 3

$c$ merupakan jarak antara fokus

$(4, 2)$ dan pusat

$(1, 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gunakan rumus jarak untuk menentukan jarak antara dua titik tersebut.

$Jarak = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Langkah 3.2

Substitusikan nilai-nilai aktual dari titik-titik ke dalam rumus jarak.

$c = \sqrt{{(4 - 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Langkah 3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kurangi

$1$ dengan

$4$ .

$c = \sqrt{3^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Langkah 3.3.2

Naikkan

$3$ menjadi pangkat

$2$ .

$c = \sqrt{9 + {(2 - 2)}^{2}}$

Langkah 3.3.3

Kurangi

$2$ dengan

$2$ .

$c = \sqrt{9 + 0^{2}}$

Langkah 3.3.4

Menaikkan

$0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan

$0$ .

$c = \sqrt{9 + 0}$

Langkah 3.3.5

Tambahkan

$9$ dan

$0$ .

$c = \sqrt{9}$

Langkah 3.3.6

Tulis kembali

$9$ sebagai

$3^{2}$ .

$c = \sqrt{3^{2}}$

Langkah 3.3.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$c = 3$

Langkah 4

Menggunakan persamaan

$c^{2} = a^{2} - b^{2}$ . Substitusikan

$4$ untuk

$a$ dan

$3$ untuk

$c$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai

${(4)}^{2} - b^{2} = 3^{2}$ .

${(4)}^{2} - b^{2} = 3^{2}$

Langkah 4.2

Naikkan

$4$ menjadi pangkat

$2$ .

$16 - b^{2} = 3^{2}$

Langkah 4.3

Naikkan

$3$ menjadi pangkat

$2$ .

$16 - b^{2} = 9$

Langkah 4.4

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung

$b$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Kurangkan

$16$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- b^{2} = 9 - 16$

Langkah 4.4.2

Kurangi

$16$ dengan

$9$ .

$- b^{2} = - 7$

Langkah 4.5

Bagi setiap suku pada

$- b^{2} = - 7$ dengan

$- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Bagilah setiap suku di

$- b^{2} = - 7$ dengan

$- 1$ .

$\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Langkah 4.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Langkah 4.5.2.2

Bagilah

$b^{2}$ dengan

$1$ .

$b^{2} = \frac{- 7}{- 1}$

Langkah 4.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.3.1

Bagilah

$- 7$ dengan

$- 1$ .

$b^{2} = 7$

Langkah 4.6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$b = \pm \sqrt{7}$

Langkah 4.7

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Pertama, gunakan nilai positif dari

$\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$b = \sqrt{7}$

Langkah 4.7.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari

$\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$b = - \sqrt{7}$

Langkah 4.7.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$b = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Langkah 5

$b$ adalah jarak, yang berarti harus merupakan bilangan positif.

$b = \sqrt{7}$

Langkah 6

Gradien dari garis antara fokus

$(4, 2)$ dan pusat

$(1, 2)$ menentukan apakah elipsnya tegak atau datar. Jika gradien

$0$ , grafiknya datar. Jika gradien tidak terdefinisi, grafiknya tegak.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gradien sama dengan perubahan pada

$y$ per perubahan pada

$x$ , atau naik per geser.

$m = \frac{perubahan pada y}{perubahan pada x}$

Langkah 6.2

Perubahan pada

$x$ sama dengan beda pada koordinat x (juga disebut pergeseran), dan perubahan pada

$y$ sama dengan beda di koordinat y (juga disebut kenaikan).

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Langkah 6.3

Substitusikan ke dalam nilai-nilai dari

$x$ dan

$y$ dalam persamaannya untuk menghitung gradien.

$m = \frac{2 - (2)}{1 - (4)}$

Langkah 6.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1.1

Kalikan

$- 1$ dengan

$2$ .

$m = \frac{2 - 2}{1 - (4)}$

Langkah 6.4.1.2

Kurangi

$2$ dengan

$2$ .

$m = \frac{0}{1 - (4)}$

Langkah 6.4.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Kalikan

$- 1$ dengan

$4$ .

$m = \frac{0}{1 - 4}$

Langkah 6.4.2.2

Kurangi

$4$ dengan

$1$ .

$m = \frac{0}{- 3}$

Langkah 6.4.3

Bagilah

$0$ dengan

$- 3$ .

$m = 0$

Langkah 6.5

Persamaan umum untuk elips datar adalah

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 7

Substitusikan nilai-nilai

$h = 1$ ,

$k = 2$ ,

$a = 4$ , dan

$b = \sqrt{7}$ ke dalam

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ untuk mendapatkan persamaan elips

$\frac{{(x - (1))}^{2}}{{(4)}^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - (1))}^{2}}{{(4)}^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$

Langkah 8

Sederhanakan untuk menentukan persamaan final dari elips.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan

$- 1$ dengan

$1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$

Langkah 8.2

Naikkan

$4$ menjadi pangkat

$2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$

Langkah 8.3

Kalikan

$- 1$ dengan

$2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{{\sqrt{7}}^{2}} = 1$

Langkah 8.4

Tulis kembali

${\sqrt{7}}^{2}$ sebagai

$7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Gunakan

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali

$\sqrt{7}$ sebagai

$7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

Langkah 8.4.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

Langkah 8.4.3

Gabungkan

$\frac{1}{2}$ dan

$2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{2}{2}}} = 1$

Langkah 8.4.4

Batalkan faktor persekutuan dari

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{2}{2}}} = 1$

Langkah 8.4.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7} = 1$

Langkah 8.4.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7} = 1$

Langkah 9