Aljabar Contoh

(5, 6)

$(5, 6)$ ,

(4, 6)

$(4, 6)$ ,

(- 5, 6)

$(- 5, 6)$

Langkah 1

Terdapat dua persamaan umum untuk hiperbola.

Persamaan hiperbola datar

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Persamaan hiperbola tegak

\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 2

a

$a$ merupakan jarak antara verteks

(4, 6)

$(4, 6)$ dan titik pusat

(5, 6)

$(5, 6)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan rumus jarak untuk menentukan jarak antara dua titik tersebut.

Jarak = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}_{2}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}_{2}^{2}}

$Jarak = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Langkah 2.2

Substitusikan nilai-nilai aktual dari titik-titik ke dalam rumus jarak.

a = \sqrt{{(4 - 5)}^{2} + {(6 - 6)}^{2}}

$a = \sqrt{{(4 - 5)}^{2} + {(6 - 6)}^{2}}$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kurangi

5

$5$ dengan

4

$4$ .

a = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(6 - 6)}^{2}}

$a = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(6 - 6)}^{2}}$

Langkah 2.3.2

Naikkan

- 1

$- 1$ menjadi pangkat

2

$2$ .

a = \sqrt{1 + {(6 - 6)}^{2}}

$a = \sqrt{1 + {(6 - 6)}^{2}}$

Langkah 2.3.3

Kurangi

6

$6$ dengan

6

$6$ .

a = \sqrt{1 + 0^{2}}

$a = \sqrt{1 + 0^{2}}$

Langkah 2.3.4

Menaikkan

0

$0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan

0

$0$ .

a = \sqrt{1 + 0}

$a = \sqrt{1 + 0}$

Langkah 2.3.5

Tambahkan

1

$1$ dan

0

$0$ .

a = \sqrt{1}

$a = \sqrt{1}$

Langkah 2.3.6

Sebarang akar dari

1

$1$ adalah

1

$1$ .

a = 1

$a = 1$

a = 1

$a = 1$

a = 1

$a = 1$

Langkah 3

c

$c$ merupakan jarak antara fokus

(- 5, 6)

$(- 5, 6)$ dan pusat

(5, 6)

$(5, 6)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gunakan rumus jarak untuk menentukan jarak antara dua titik tersebut.

Jarak = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}_{2}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}_{2}^{2}}

$Jarak = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Langkah 3.2

Substitusikan nilai-nilai aktual dari titik-titik ke dalam rumus jarak.

c = \sqrt{{((- 5) - 5)}^{2} + {(6 - 6)}^{2}}

$c = \sqrt{{((- 5) - 5)}^{2} + {(6 - 6)}^{2}}$

Langkah 3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kurangi

$5$ dengan

$- 5$ .

$c = \sqrt{{(- 10)}^{2} + {(6 - 6)}^{2}}$

Langkah 3.3.2

Naikkan

$- 10$ menjadi pangkat

$2$ .

$c = \sqrt{100 + {(6 - 6)}^{2}}$

Langkah 3.3.3

Kurangi

$6$ dengan

$6$ .

$c = \sqrt{100 + 0^{2}}$

Langkah 3.3.4

Menaikkan

$0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan

$0$ .

$c = \sqrt{100 + 0}$

Langkah 3.3.5

Tambahkan

$100$ dan

$0$ .

$c = \sqrt{100}$

Langkah 3.3.6

Tulis kembali

$100$ sebagai

$10^{2}$ .

$c = \sqrt{10^{2}}$

Langkah 3.3.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$c = 10$

Langkah 4

Menggunakan persamaan

$c^{2} = a^{2} + b^{2}$ . Substitusikan

$1$ untuk

$a$ dan

$10$ untuk

$c$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai

${(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}$ .

${(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}$

Langkah 4.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 + b^{2} = 10^{2}$

Langkah 4.3

Naikkan

$10$ menjadi pangkat

$2$ .

$1 + b^{2} = 100$

Langkah 4.4

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung

$b$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Kurangkan

$1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$b^{2} = 100 - 1$

Langkah 4.4.2

Kurangi

$1$ dengan

$100$ .

$b^{2} = 99$

Langkah 4.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$b = \pm \sqrt{99}$

Langkah 4.6

Sederhanakan

$\pm \sqrt{99}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Tulis kembali

$99$ sebagai

$3^{2} \cdot 11$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1.1

Faktorkan

$9$ dari

$99$ .

$b = \pm \sqrt{9 (11)}$

Langkah 4.6.1.2

Tulis kembali

$9$ sebagai

$3^{2}$ .

$b = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 11}$

Langkah 4.6.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$b = \pm 3 \sqrt{11}$

Langkah 4.7

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Pertama, gunakan nilai positif dari

$\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$b = 3 \sqrt{11}$

Langkah 4.7.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari

$\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$b = - 3 \sqrt{11}$

Langkah 4.7.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}$

Langkah 5

$b$ adalah jarak, yang berarti harus merupakan bilangan positif.

$b = 3 \sqrt{11}$

Langkah 6

Gradien dari garis antara titik fokus

$(- 5, 6)$ dan pusat

$(5, 6)$ menentukan apakah hiperbolanya tegak atau datar. Jika gradiennya adalah

$0$ , grafiknya datar. Jika gradien tidak terdefinisi, grafiknya tegak.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gradien sama dengan perubahan pada

$y$ per perubahan pada

$x$ , atau naik per geser.

$m = \frac{perubahan pada y}{perubahan pada x}$

Langkah 6.2

Perubahan pada

$x$ sama dengan beda pada koordinat x (juga disebut pergeseran), dan perubahan pada

$y$ sama dengan beda di koordinat y (juga disebut kenaikan).

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Langkah 6.3

Substitusikan ke dalam nilai-nilai dari

$x$ dan

$y$ dalam persamaannya untuk menghitung gradien.

$m = \frac{6 - (6)}{5 - (- 5)}$

Langkah 6.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1.1

Kalikan

$- 1$ dengan

$6$ .

$m = \frac{6 - 6}{5 - (- 5)}$

Langkah 6.4.1.2

Kurangi

$6$ dengan

$6$ .

$m = \frac{0}{5 - (- 5)}$

Langkah 6.4.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Kalikan

$- 1$ dengan

$- 5$ .

$m = \frac{0}{5 + 5}$

Langkah 6.4.2.2

Tambahkan

$5$ dan

$5$ .

$m = \frac{0}{10}$

Langkah 6.4.3

Bagilah

$0$ dengan

$10$ .

$m = 0$

Langkah 6.5

Persamaan umum untuk hiperbola datar adalah

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 7

Substitusikan nilai-nilai

$h = 5$ ,

$k = 6$ ,

$a = 1$ , dan

$b = 3 \sqrt{11}$ ke dalam

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ untuk mendapatkan persamaan hiperbola

$\frac{{(x - (5))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (6))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - (5))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (6))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Langkah 8

Sederhanakan untuk menentukan persamaan final dari hiperbola.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan

$- 1$ dengan

$5$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{1^{2}} - \frac{{(y - (6))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Langkah 8.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{1} - \frac{{(y - (6))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Langkah 8.3

Bagilah

${(x - 5)}^{2}$ dengan

$1$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - (6))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Langkah 8.4

Kalikan

$- 1$ dengan

$6$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 6)}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Langkah 8.5

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Terapkan kaidah hasil kali ke

$3 \sqrt{11}$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 6)}^{2}}{3^{2} {\sqrt{11}}^{2}} = 1$

Langkah 8.5.2

Naikkan

$3$ menjadi pangkat

$2$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 6)}^{2}}{9 {\sqrt{11}}^{2}} = 1$

Langkah 8.5.3

Tulis kembali

${\sqrt{11}}^{2}$ sebagai

$11$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.3.1

Gunakan

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali

$\sqrt{11}$ sebagai

$11^{\frac{1}{2}}$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 6)}^{2}}{9 {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

Langkah 8.5.3.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 6)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

Langkah 8.5.3.3

Gabungkan

$\frac{1}{2}$ dan

$2$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 6)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{2}{2}}} = 1$

Langkah 8.5.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 6)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{2}{2}}} = 1$

Langkah 8.5.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 6)}^{2}}{9 \cdot 11} = 1$

Langkah 8.5.3.5

Evaluasi eksponennya.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 6)}^{2}}{9 \cdot 11} = 1$

Langkah 8.6

Kalikan

$9$ dengan

$11$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 6)}^{2}}{99} = 1$

Langkah 9