Aljabar Contoh

$(5, 6)$ , $(4, 6)$ , $(- 5, 6)$

Langkah 1

Terdapat dua persamaan umum untuk hiperbola.

Persamaan hiperbola datar $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Persamaan hiperbola tegak $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 2

$a$ merupakan jarak antara verteks $(4, 6)$ dan titik pusat $(5, 6)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan rumus jarak untuk menentukan jarak antara dua titik tersebut.

$Jarak = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Langkah 2.2

Substitusikan nilai-nilai aktual dari titik-titik ke dalam rumus jarak.

$a = \sqrt{{(4 - 5)}^{2} + {(6 - 6)}^{2}}$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kurangi $5$ dengan $4$ .

$a = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(6 - 6)}^{2}}$

Langkah 2.3.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$a = \sqrt{1 + {(6 - 6)}^{2}}$

Langkah 2.3.3

Kurangi $6$ dengan $6$ .

$a = \sqrt{1 + 0^{2}}$

Langkah 2.3.4

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$a = \sqrt{1 + 0}$

Langkah 2.3.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$a = \sqrt{1}$

Langkah 2.3.6

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$a = 1$

Langkah 3

$c$ merupakan jarak antara fokus $(- 5, 6)$ dan pusat $(5, 6)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gunakan rumus jarak untuk menentukan jarak antara dua titik tersebut.

$Jarak = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Langkah 3.2

Substitusikan nilai-nilai aktual dari titik-titik ke dalam rumus jarak.

$c = \sqrt{{((- 5) - 5)}^{2} + {(6 - 6)}^{2}}$

Langkah 3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kurangi $5$ dengan $- 5$ .

$c = \sqrt{{(- 10)}^{2} + {(6 - 6)}^{2}}$

Langkah 3.3.2

Naikkan $- 10$ menjadi pangkat $2$ .

$c = \sqrt{100 + {(6 - 6)}^{2}}$

Langkah 3.3.3

Kurangi $6$ dengan $6$ .

$c = \sqrt{100 + 0^{2}}$

Langkah 3.3.4

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$c = \sqrt{100 + 0}$

Langkah 3.3.5

Tambahkan $100$ dan $0$ .

$c = \sqrt{100}$

Langkah 3.3.6

Tulis kembali $100$ sebagai $10^{2}$ .

$c = \sqrt{10^{2}}$

Langkah 3.3.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$c = 10$

Langkah 4

Menggunakan persamaan $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ . Substitusikan $1$ untuk $a$ dan $10$ untuk $c$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai ${(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}$ .

${(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}$

Langkah 4.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 + b^{2} = 10^{2}$

Langkah 4.3

Naikkan $10$ menjadi pangkat $2$ .

$1 + b^{2} = 100$

Langkah 4.4

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $b$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$b^{2} = 100 - 1$

Langkah 4.4.2

Kurangi $1$ dengan $100$ .

$b^{2} = 99$

Langkah 4.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$b = \pm \sqrt{99}$

Langkah 4.6

Sederhanakan $\pm \sqrt{99}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Tulis kembali $99$ sebagai $3^{2} \cdot 11$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1.1

Faktorkan $9$ dari $99$ .

$b = \pm \sqrt{9 (11)}$

Langkah 4.6.1.2

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$b = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 11}$

Langkah 4.6.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$b = \pm 3 \sqrt{11}$

Langkah 4.7

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$b = 3 \sqrt{11}$

Langkah 4.7.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$b = - 3 \sqrt{11}$

Langkah 4.7.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}$

Langkah 5

$b$ adalah jarak, yang berarti harus merupakan bilangan positif.

$b = 3 \sqrt{11}$

Langkah 6

Gradien dari garis antara titik fokus $(- 5, 6)$ dan pusat $(5, 6)$ menentukan apakah hiperbolanya tegak atau datar. Jika gradiennya adalah $0$ , grafiknya datar. Jika gradien tidak terdefinisi, grafiknya tegak.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gradien sama dengan perubahan pada $y$ per perubahan pada $x$ , atau naik per geser.

$m = \frac{perubahan pada y}{perubahan pada x}$

Langkah 6.2

Perubahan pada $x$ sama dengan beda pada koordinat x (juga disebut pergeseran), dan perubahan pada $y$ sama dengan beda di koordinat y (juga disebut kenaikan).

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Langkah 6.3

Substitusikan ke dalam nilai-nilai dari $x$ dan $y$ dalam persamaannya untuk menghitung gradien.

$m = \frac{6 - (6)}{5 - (- 5)}$

Langkah 6.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $6$ .

$m = \frac{6 - 6}{5 - (- 5)}$

Langkah 6.4.1.2

Kurangi $6$ dengan $6$ .

$m = \frac{0}{5 - (- 5)}$

Langkah 6.4.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 5$ .

$m = \frac{0}{5 + 5}$

Langkah 6.4.2.2

Tambahkan $5$ dan $5$ .

$m = \frac{0}{10}$

Langkah 6.4.3

Bagilah $0$ dengan $10$ .

$m = 0$

Langkah 6.5

Persamaan umum untuk hiperbola datar adalah $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 7

Substitusikan nilai-nilai $h = 5$ , $k = 6$ , $a = 1$ , dan $b = 3 \sqrt{11}$ ke dalam $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ untuk mendapatkan persamaan hiperbola $\frac{{(x - (5))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (6))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - (5))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (6))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Langkah 8

Sederhanakan untuk menentukan persamaan final dari hiperbola.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{1^{2}} - \frac{{(y - (6))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Langkah 8.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{1} - \frac{{(y - (6))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Langkah 8.3

Bagilah ${(x - 5)}^{2}$ dengan $1$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - (6))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Langkah 8.4

Kalikan $- 1$ dengan $6$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 6)}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Langkah 8.5

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 \sqrt{11}$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 6)}^{2}}{3^{2} {\sqrt{11}}^{2}} = 1$

Langkah 8.5.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 6)}^{2}}{9 {\sqrt{11}}^{2}} = 1$

Langkah 8.5.3

Tulis kembali ${\sqrt{11}}^{2}$ sebagai $11$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{11}$ sebagai $11^{\frac{1}{2}}$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 6)}^{2}}{9 {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

Langkah 8.5.3.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 6)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

Langkah 8.5.3.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 6)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{2}{2}}} = 1$

Langkah 8.5.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 6)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{2}{2}}} = 1$

Langkah 8.5.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 6)}^{2}}{9 \cdot 11} = 1$

Langkah 8.5.3.5

Evaluasi eksponennya.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 6)}^{2}}{9 \cdot 11} = 1$

Langkah 8.6

Kalikan $9$ dengan $11$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 6)}^{2}}{99} = 1$

Langkah 9