Aljabar Contoh

$x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$

Langkah 1

Tuliskan $x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$ sebagai sebuah persamaan.

$y = x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$

Langkah 2

Tentukan perpotongan sumbu x.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk mencari perpotongan sumbu x, substitusikan $0$ ke $y$ dan selesaikan $x$ .

$0 = x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$

Langkah 2.2

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18 = 0$ .

$x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18 = 0$

Langkah 2.2.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Faktorkan $x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1$

Langkah 2.2.2.1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

Langkah 2.2.2.1.3

Substitusikan $2$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $2$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.3.1

Substitusikan $2$ ke dalam polinomialnya.

$2^{3} + 4 \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2 - 18$

Langkah 2.2.2.1.3.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$8 + 4 \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2 - 18$

Langkah 2.2.2.1.3.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$8 + 4 \cdot 4 - 3 \cdot 2 - 18$

Langkah 2.2.2.1.3.4

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$8 + 16 - 3 \cdot 2 - 18$

Langkah 2.2.2.1.3.5

Tambahkan $8$ dan $16$ .

$24 - 3 \cdot 2 - 18$

Langkah 2.2.2.1.3.6

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$24 - 6 - 18$

Langkah 2.2.2.1.3.7

Kurangi $6$ dengan $24$ .

$18 - 18$

Langkah 2.2.2.1.3.8

Kurangi $18$ dengan $18$ .

$0$

Langkah 2.2.2.1.4

Karena $2$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 2$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18}{x - 2}$

Langkah 2.2.2.1.5

Bagilah $x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$ dengan $x - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

Langkah 2.2.2.1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$

Langkah 2.2.2.1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Langkah 2.2.2.1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{3} - 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Langkah 2.2.2.1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

Langkah 2.2.2.1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$

Langkah 2.2.2.1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $6 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$

Langkah 2.2.2.1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$12 x$

Langkah 2.2.2.1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $6 x^{2} - 12 x$

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$

Langkah 2.2.2.1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$

Langkah 2.2.2.1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	-	$18$

Langkah 2.2.2.1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $9 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	-	$18$

Langkah 2.2.2.1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	-	$18$
							+	$9 x$	-	$18$

Langkah 2.2.2.1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $9 x - 18$

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	-	$18$
							-	$9 x$	+	$18$

Langkah 2.2.2.1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	-	$18$
							-	$9 x$	+	$18$
										$0$

Langkah 2.2.2.1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$x^{2} + 6 x + 9$

Langkah 2.2.2.1.6

Tulis $x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$ sebagai himpunan faktor.

$(x - 2) (x^{2} + 6 x + 9) = 0$

Langkah 2.2.2.2

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$(x - 2) (x^{2} + 6 x + 3^{2}) = 0$

Langkah 2.2.2.2.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Langkah 2.2.2.2.3

Tulis kembali polinomialnya.

$(x - 2) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Langkah 2.2.2.2.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , di mana $a = x$ dan $b = 3$ .

$(x - 2) {(x + 3)}^{2} = 0$

Langkah 2.2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

Langkah 2.2.4

Atur $x - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Atur $x - 2$ sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

Langkah 2.2.4.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 2.2.5

Atur ${(x + 3)}^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.1

Atur ${(x + 3)}^{2}$ sama dengan $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Langkah 2.2.5.2

Selesaikan ${(x + 3)}^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.2.1

Atur $x + 3$ agar sama dengan $0$ .

$x + 3 = 0$

Langkah 2.2.5.2.2

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 3$

Langkah 2.2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x - 2) {(x + 3)}^{2} = 0$ benar.

$x = 2, - 3$

Langkah 2.3

perpotongan sumbu x dalam bentuk titik.

perpotongan sumbu x: $(2, 0), (- 3, 0)$

Langkah 3

Tentukan perpotongan sumbu y.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk mencari perpotongan sumbu y, substitusikan $0$ ke $x$ dan selesaikan $y$ .

$y = {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 18$

Langkah 3.2

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = 0^{3} + 4 {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 18$

Langkah 3.2.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = 0^{3} + 4 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0 - 18$

Langkah 3.2.3

Hilangkan tanda kurung.

$y = {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 18$

Langkah 3.2.4

Sederhanakan ${(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 18$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$y = 0 + 4 {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 18$

Langkah 3.2.4.1.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$y = 0 + 4 \cdot 0 - 3 \cdot 0 - 18$

Langkah 3.2.4.1.3

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$y = 0 + 0 - 3 \cdot 0 - 18$

Langkah 3.2.4.1.4

Kalikan $- 3$ dengan $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 18$

Langkah 3.2.4.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.2.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$y = 0 + 0 - 18$

Langkah 3.2.4.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$y = 0 - 18$

Langkah 3.2.4.2.3

Kurangi $18$ dengan $0$ .

$y = - 18$

Langkah 3.3

perpotongan sumbu y dalam bentuk titik.

perpotongan sumbu y: $(0, - 18)$

Langkah 4

Sebutkan perpotongan-perpotongannya.

perpotongan sumbu x: $(2, 0), (- 3, 0)$

perpotongan sumbu y: $(0, - 18)$

Langkah 5