Aljabar Contoh

$c (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 1$

Langkah 1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

Langkah 2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}$

Langkah 3

Substitusikan akar-akar yang memungkinkan satu demi satu ke dalam polinomial untuk mencari akar-akar aktualnya. Sederhanakan untuk mengetahui apakah nilainya adalah $0$ , yang berarti merupakan akarnya.

$2 {(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} - 1$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $x = - 1$ adalah akar dari polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$2 \cdot - 1 + 3 {(- 1)}^{2} - 1$

Langkah 4.1.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 + 3 {(- 1)}^{2} - 1$

Langkah 4.1.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$- 2 + 3 \cdot 1 - 1$

Langkah 4.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$- 2 + 3 - 1$

Langkah 4.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Tambahkan $- 2$ dan $3$ .

$1 - 1$

Langkah 4.2.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$0$

Langkah 5

Karena $- 1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x + 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menentukan akar yang tersisa.

$\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 1}{x + 1}$

Langkah 6

Selanjutnya, tentukan akar-akar dari polinomial yang tersisa. Urutan polinomial sudah dikurangi oleh $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tempatkan bilangan yang mewakili pembagi dan bilangan yang dibagi ke dalam konfigurasi yang seperti pembagian.

$- 1$	$2$	$3$	$0$	$- 1$

Langkah 6.2

Bilangan pertama dalam bilangan yang dibagi $(2)$ dimasukkan ke dalam posisi pertama dari daerah hasil (di bawah garis datar).

$- 1$	$2$	$3$	$0$	$- 1$

	$2$

Langkah 6.3

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(2)$ dengan pembagi $(- 1)$ dan tempatkan hasil $(- 2)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(3)$ .

$- 1$	$2$	$3$	$0$	$- 1$
		$- 2$
	$2$

Langkah 6.4

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$- 1$	$2$	$3$	$0$	$- 1$
		$- 2$
	$2$	$1$

Langkah 6.5

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(1)$ dengan pembagi $(- 1)$ dan tempatkan hasil $(- 1)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(0)$ .

$- 1$	$2$	$3$	$0$	$- 1$
		$- 2$	$- 1$
	$2$	$1$

Langkah 6.6

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$- 1$	$2$	$3$	$0$	$- 1$
		$- 2$	$- 1$
	$2$	$1$	$- 1$

Langkah 6.7

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 1)$ dengan pembagi $(- 1)$ dan tempatkan hasil $(1)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 1)$ .

$- 1$	$2$	$3$	$0$	$- 1$
		$- 2$	$- 1$	$1$
	$2$	$1$	$- 1$

Langkah 6.8

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$- 1$	$2$	$3$	$0$	$- 1$
		$- 2$	$- 1$	$1$
	$2$	$1$	$- 1$	$0$

Langkah 6.9

Semua bilangan, kecuali yang terakhir, menjadi koefisien dari polinomial hasil bagi. Nilai terakhir pada garis hasil adalah sisanya.

$2 x^{2} + 1 x - 1$

Langkah 6.10

Sederhanakan polinomial hasil baginya.

$2 x^{2} + x - 1$

Langkah 7

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ dan yang jumlahnya adalah $b = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Kalikan dengan $1$ .

$(x + 1) + 2 x^{2} + 1 x - 1$

Langkah 7.1.2

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1$ ditambah $2$

$(x + 1) + 2 x^{2} + (- 1 + 2) x - 1$

Langkah 7.1.3

Terapkan sifat distributif.

$(x + 1) + 2 x^{2} - 1 x + 2 x - 1$

Langkah 7.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(x + 1) (2 x^{2} - 1 x) + 2 x - 1$

Langkah 7.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$(x + 1) + x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)$

Langkah 7.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 x - 1$ .

$(x + 1) + (2 x - 1) (x + 1)$

$(x + 1) (2 x - 1) (x + 1)$

Langkah 8

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Faktorkan $2 x^{3} + 3 x^{2} - 1$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

Langkah 8.1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5$

Langkah 8.1.3

Substitusikan $- 1$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $- 1$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.3.1

Substitusikan $- 1$ ke dalam polinomialnya.

$2 {(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} - 1$

Langkah 8.1.3.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$2 \cdot - 1 + 3 {(- 1)}^{2} - 1$

Langkah 8.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 + 3 {(- 1)}^{2} - 1$

Langkah 8.1.3.4

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$- 2 + 3 \cdot 1 - 1$

Langkah 8.1.3.5

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$- 2 + 3 - 1$

Langkah 8.1.3.6

Tambahkan $- 2$ dan $3$ .

$1 - 1$

Langkah 8.1.3.7

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$0$

Langkah 8.1.4

Karena $- 1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x + 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 1}{x + 1}$

Langkah 8.1.5

Bagilah $2 x^{3} + 3 x^{2} - 1$ dengan $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

Langkah 8.1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $2 x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$

Langkah 8.1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			+	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Langkah 8.1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $2 x^{3} + 2 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Langkah 8.1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$

Langkah 8.1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$

Langkah 8.1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$

Langkah 8.1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Langkah 8.1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{2} + x$

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Langkah 8.1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$

Langkah 8.1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	-	$1$

Langkah 8.1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	-	$1$

Langkah 8.1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$2 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	-	$1$
							-	$x$	-	$1$

Langkah 8.1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- x - 1$

				$2 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	-	$1$
							+	$x$	+	$1$

Langkah 8.1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$2 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	-	$1$
							+	$x$	+	$1$
										$0$

Langkah 8.1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$2 x^{2} + x - 1$

Langkah 8.1.6

Tulis $2 x^{3} + 3 x^{2} - 1$ sebagai himpunan faktor.

$(x + 1) (2 x^{2} + x - 1) = 0$

Langkah 8.2

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1.1

Kalikan dengan $1$ .

$(x + 1) (2 x^{2} + 1 x - 1) = 0$

Langkah 8.2.1.1.2

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1$ ditambah $2$

$(x + 1) (2 x^{2} + (- 1 + 2) x - 1) = 0$

Langkah 8.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$(x + 1) (2 x^{2} - 1 x + 2 x - 1) = 0$

Langkah 8.2.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(x + 1) ((2 x^{2} - 1 x) + 2 x - 1) = 0$

Langkah 8.2.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$(x + 1) (x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)) = 0$

Langkah 8.2.1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 x - 1$ .

$(x + 1) ((2 x - 1) (x + 1)) = 0$

Langkah 8.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x + 1) (2 x - 1) (x + 1) = 0$

Langkah 9

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Langkah 10

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Atur $x + 1$ sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 10.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 11

Atur $2 x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Atur $2 x - 1$ sama dengan $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Langkah 11.2

Selesaikan $2 x - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$2 x = 1$

Langkah 11.2.2

Bagi setiap suku pada $2 x = 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 11.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 11.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Langkah 12

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x + 1) (2 x - 1) (x + 1) = 0$ benar.

$x = - 1, \frac{1}{2}$

Langkah 13