Aljabar Contoh

$f (x) = x^{3} - 11 x^{2} + 43 x - 65$

Langkah 1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 13, \pm 65$

$q = \pm 1$

Langkah 2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 5, \pm 13, \pm 65$

Langkah 3

Substitusikan akar-akar yang memungkinkan satu demi satu ke dalam polinomial untuk mencari akar-akar aktualnya. Sederhanakan untuk mengetahui apakah nilainya adalah $0$ , yang berarti merupakan akarnya.

${(5)}^{3} - 11 {(5)}^{2} + 43 (5) - 65$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $x = 5$ adalah akar dari polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $3$ .

$125 - 11 {(5)}^{2} + 43 (5) - 65$

Langkah 4.1.2

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$125 - 11 \cdot 25 + 43 (5) - 65$

Langkah 4.1.3

Kalikan $- 11$ dengan $25$ .

$125 - 275 + 43 (5) - 65$

Langkah 4.1.4

Kalikan $43$ dengan $5$ .

$125 - 275 + 215 - 65$

Langkah 4.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kurangi $275$ dengan $125$ .

$- 150 + 215 - 65$

Langkah 4.2.2

Tambahkan $- 150$ dan $215$ .

$65 - 65$

Langkah 4.2.3

Kurangi $65$ dengan $65$ .

$0$

Langkah 5

Karena $5$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 5$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menentukan akar yang tersisa.

$\frac{x^{3} - 11 x^{2} + 43 x - 65}{x - 5}$

Langkah 6

Selanjutnya, tentukan akar-akar dari polinomial yang tersisa. Urutan polinomial sudah dikurangi oleh $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tempatkan bilangan yang mewakili pembagi dan bilangan yang dibagi ke dalam konfigurasi yang seperti pembagian.

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$

Langkah 6.2

Bilangan pertama dalam bilangan yang dibagi $(1)$ dimasukkan ke dalam posisi pertama dari daerah hasil (di bawah garis datar).

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$

	$1$

Langkah 6.3

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(1)$ dengan pembagi $(5)$ dan tempatkan hasil $(5)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 11)$ .

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$
	$1$

Langkah 6.4

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$
	$1$	$- 6$

Langkah 6.5

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 6)$ dengan pembagi $(5)$ dan tempatkan hasil $(- 30)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(43)$ .

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$	$- 30$
	$1$	$- 6$

Langkah 6.6

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$	$- 30$
	$1$	$- 6$	$13$

Langkah 6.7

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(13)$ dengan pembagi $(5)$ dan tempatkan hasil $(65)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 65)$ .

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$	$- 30$	$65$
	$1$	$- 6$	$13$

Langkah 6.8

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$	$- 30$	$65$
	$1$	$- 6$	$13$	$0$

Langkah 6.9

Semua bilangan, kecuali yang terakhir, menjadi koefisien dari polinomial hasil bagi. Nilai terakhir pada garis hasil adalah sisanya.

$1 x^{2} + - 6 x + 13$

Langkah 6.10

Sederhanakan polinomial hasil baginya.

$x^{2} - 6 x + 13$

Langkah 7

Selesaikan persamaan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = - 6$ , dan $c = 13$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 13)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1

Naikkan $- 6$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $13$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.3

Kurangi $52$ dengan $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.4

Tulis kembali $- 16$ sebagai $- 1 (16)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (16)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.7

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.9

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2}$

Langkah 7.3.3

Sederhanakan $\frac{6 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 i$

Langkah 7.4

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1.1

Naikkan $- 6$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $13$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.1.3

Kurangi $52$ dengan $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.1.4

Tulis kembali $- 16$ sebagai $- 1 (16)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (16)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.1.7

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.1.9

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2}$

Langkah 7.4.3

Sederhanakan $\frac{6 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 i$

Langkah 7.4.4

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$x = 3 + 2 i$

Langkah 7.5

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1.1

Naikkan $- 6$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.5.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.5.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $13$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.5.1.3

Kurangi $52$ dengan $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.5.1.4

Tulis kembali $- 16$ sebagai $- 1 (16)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.5.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (16)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.5.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.5.1.7

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.5.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.5.1.9

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.5.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2}$

Langkah 7.5.3

Sederhanakan $\frac{6 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 i$

Langkah 7.5.4

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$x = 3 - 2 i$

Langkah 7.6

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = 3 + 2 i, 3 - 2 i$

Langkah 8

Polinomial dapat ditulis sebagai himpunan faktor linear.

$(x - 5) (x - 3 - 2 i) (x - 3 + 2 i)$

Langkah 9

Ini adalah akar-akar (nol) dari polinomial $x^{3} - 11 x^{2} + 43 x - 65$ .

$x = 5, 3 + 2 i, 3 - 2 i$

Langkah 10