Aljabar Contoh

$f (x) = x^{6} - 2 x^{4} - 5 x^{2} + 6$

Langkah 1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1$

Langkah 2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

Langkah 3

Substitusikan akar-akar yang memungkinkan satu demi satu ke dalam polinomial untuk mencari akar-akar aktualnya. Sederhanakan untuk mengetahui apakah nilainya adalah $0$ , yang berarti merupakan akarnya.

${(1)}^{6} - 2 {(1)}^{4} - 5 {(1)}^{2} + 6$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $x = 1$ adalah akar dari polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 - 2 {(1)}^{4} - 5 {(1)}^{2} + 6$

Langkah 4.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 - 2 \cdot 1 - 5 {(1)}^{2} + 6$

Langkah 4.1.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$1 - 2 - 5 {(1)}^{2} + 6$

Langkah 4.1.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 - 2 - 5 \cdot 1 + 6$

Langkah 4.1.5

Kalikan $- 5$ dengan $1$ .

$1 - 2 - 5 + 6$

Langkah 4.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$- 1 - 5 + 6$

Langkah 4.2.2

Kurangi $5$ dengan $- 1$ .

$- 6 + 6$

Langkah 4.2.3

Tambahkan $- 6$ dan $6$ .

$0$

Langkah 5

Karena $1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menentukan akar yang tersisa.

$\frac{x^{6} - 2 x^{4} - 5 x^{2} + 6}{x - 1}$

Langkah 6

Selanjutnya, tentukan akar-akar dari polinomial yang tersisa. Urutan polinomial sudah dikurangi oleh $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tempatkan bilangan yang mewakili pembagi dan bilangan yang dibagi ke dalam konfigurasi yang seperti pembagian.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$

Langkah 6.2

Bilangan pertama dalam bilangan yang dibagi $(1)$ dimasukkan ke dalam posisi pertama dari daerah hasil (di bawah garis datar).

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$

	$1$

Langkah 6.3

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(1)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(1)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(0)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$
	$1$

Langkah 6.4

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$
	$1$	$1$

Langkah 6.5

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(1)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(1)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 2)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$
	$1$	$1$

Langkah 6.6

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$
	$1$	$1$	$- 1$

Langkah 6.7

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 1)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(- 1)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(0)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$
	$1$	$1$	$- 1$

Langkah 6.8

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$

Langkah 6.9

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 1)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(- 1)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 5)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$

Langkah 6.10

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$

Langkah 6.11

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 6)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(- 6)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(0)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$

Langkah 6.12

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$	$- 6$

Langkah 6.13

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 6)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(- 6)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(6)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$	$- 6$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$	$- 6$

Langkah 6.14

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$	$- 6$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$	$- 6$	$0$

Langkah 6.15

Semua bilangan, kecuali yang terakhir, menjadi koefisien dari polinomial hasil bagi. Nilai terakhir pada garis hasil adalah sisanya.

$1 x^{5} + 1 x^{4} - 1 x^{3} + - 1 x^{2} + (- 6) x - 6$

Langkah 6.16

Sederhanakan polinomial hasil baginya.

$x^{5} + x^{4} - x^{3} - x^{2} - 6 x - 6$

Langkah 7

Selesaikan persamaan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Kelompokkan kembali suku-suku.

$x^{5} - x^{3} - 6 x + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Langkah 7.1.2

Faktorkan $x$ dari $x^{5} - x^{3} - 6 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} - x^{3} - 6 x + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Langkah 7.1.2.2

Faktorkan $x$ dari $- x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) - 6 x + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Langkah 7.1.2.3

Faktorkan $x$ dari $- 6 x$ .

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + x \cdot - 6 + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Langkah 7.1.2.4

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x^{4} + x (- x^{2})$ .

$x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot - 6 + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Langkah 7.1.2.5

Faktorkan $x$ dari $x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot - 6$ .

$x (x^{4} - x^{2} - 6) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Langkah 7.1.3

Tulis kembali $x^{4}$ sebagai ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - x^{2} - 6) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Langkah 7.1.4

Biarkan $u = x^{2}$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $x^{2}$ .

$x (u^{2} - u - 6) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Langkah 7.1.5

Faktorkan $u^{2} - u - 6$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.5.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 6$ dan jumlahnya $- 1$ .

$- 3, 2$

Langkah 7.1.5.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$x ((u - 3) (u + 2)) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Langkah 7.1.6

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.6.1

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 3) (x^{2} + 2)) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Langkah 7.1.6.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Langkah 7.1.7

Tulis kembali $x^{4}$ sebagai ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + {(x^{2})}^{2} - x^{2} - 6 = 0$

Langkah 7.1.8

Biarkan $u = x^{2}$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $x^{2}$ .

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + u^{2} - u - 6 = 0$

Langkah 7.1.9

Faktorkan $u^{2} - u - 6$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.9.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 6$ dan jumlahnya $- 1$ .

$- 3, 2$

Langkah 7.1.9.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + (u - 3) (u + 2) = 0$

Langkah 7.1.10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) = 0$

Langkah 7.1.11

Faktorkan $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ dari $x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.11.1

Faktorkan $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ dari $x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ .

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) = 0$

Langkah 7.1.11.2

Faktorkan $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ dari $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ .

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (1) = 0$

Langkah 7.1.11.3

Faktorkan $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ dari $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (1)$ .

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x + 1) = 0$

Langkah 7.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

$x^{2} + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Langkah 7.3

Atur $x^{2} - 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Atur $x^{2} - 3$ sama dengan $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Langkah 7.3.2

Selesaikan $x^{2} - 3 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$x^{2} = 3$

Langkah 7.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Langkah 7.3.2.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.3.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \sqrt{3}$

Langkah 7.3.2.3.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \sqrt{3}$

Langkah 7.3.2.3.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Langkah 7.4

Atur $x^{2} + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Atur $x^{2} + 2$ sama dengan $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Langkah 7.4.2

Selesaikan $x^{2} + 2 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.1

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} = - 2$

Langkah 7.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Langkah 7.4.2.3

Sederhanakan $\pm \sqrt{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.3.1

Tulis kembali $- 2$ sebagai $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Langkah 7.4.2.3.2

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (2)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Langkah 7.4.2.3.3

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Langkah 7.4.2.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = i \sqrt{2}$

Langkah 7.4.2.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - i \sqrt{2}$

Langkah 7.4.2.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Langkah 7.5

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Atur $x + 1$ sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 7.5.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 7.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x + 1) = 0$ benar.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, - 1$

Langkah 8

Polinomial dapat ditulis sebagai himpunan faktor linear.

$(x - 1) (x - \sqrt{3}) (x + \sqrt{3}) (x - i \sqrt{2}) (x + \sqrt{2} i) (x + 1)$

Langkah 9

Ini adalah akar-akar (nol) dari polinomial $x^{6} - 2 x^{4} - 5 x^{2} + 6$ .

$x = 1, \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, - 1$

Langkah 10