Aljabar Contoh

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} - 18 x^{2} + 108 x - 135$

Langkah 1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 27, \pm 45, \pm 135$

$q = \pm 1$

Langkah 2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 27, \pm 45, \pm 135$

Langkah 3

Substitusikan akar-akar yang memungkinkan satu demi satu ke dalam polinomial untuk mencari akar-akar aktualnya. Sederhanakan untuk mengetahui apakah nilainya adalah $0$ , yang berarti merupakan akarnya.

${(3)}^{4} - 4 {(3)}^{3} - 18 {(3)}^{2} + 108 (3) - 135$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $x = 3$ adalah akar dari polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $4$ .

$81 - 4 {(3)}^{3} - 18 {(3)}^{2} + 108 (3) - 135$

Langkah 4.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$81 - 4 \cdot 27 - 18 {(3)}^{2} + 108 (3) - 135$

Langkah 4.1.3

Kalikan $- 4$ dengan $27$ .

$81 - 108 - 18 {(3)}^{2} + 108 (3) - 135$

Langkah 4.1.4

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$81 - 108 - 18 \cdot 9 + 108 (3) - 135$

Langkah 4.1.5

Kalikan $- 18$ dengan $9$ .

$81 - 108 - 162 + 108 (3) - 135$

Langkah 4.1.6

Kalikan $108$ dengan $3$ .

$81 - 108 - 162 + 324 - 135$

Langkah 4.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kurangi $108$ dengan $81$ .

$- 27 - 162 + 324 - 135$

Langkah 4.2.2

Kurangi $162$ dengan $- 27$ .

$- 189 + 324 - 135$

Langkah 4.2.3

Tambahkan $- 189$ dan $324$ .

$135 - 135$

Langkah 4.2.4

Kurangi $135$ dengan $135$ .

$0$

Langkah 5

Karena $3$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 3$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menentukan akar yang tersisa.

$\frac{x^{4} - 4 x^{3} - 18 x^{2} + 108 x - 135}{x - 3}$

Langkah 6

Selanjutnya, tentukan akar-akar dari polinomial yang tersisa. Urutan polinomial sudah dikurangi oleh $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tempatkan bilangan yang mewakili pembagi dan bilangan yang dibagi ke dalam konfigurasi yang seperti pembagian.

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$

Langkah 6.2

Bilangan pertama dalam bilangan yang dibagi $(1)$ dimasukkan ke dalam posisi pertama dari daerah hasil (di bawah garis datar).

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$

	$1$

Langkah 6.3

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(1)$ dengan pembagi $(3)$ dan tempatkan hasil $(3)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 4)$ .

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$
	$1$

Langkah 6.4

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$
	$1$	$- 1$

Langkah 6.5

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 1)$ dengan pembagi $(3)$ dan tempatkan hasil $(- 3)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 18)$ .

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$	$- 3$
	$1$	$- 1$

Langkah 6.6

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$	$- 3$
	$1$	$- 1$	$- 21$

Langkah 6.7

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 21)$ dengan pembagi $(3)$ dan tempatkan hasil $(- 63)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(108)$ .

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$	$- 3$	$- 63$
	$1$	$- 1$	$- 21$

Langkah 6.8

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$	$- 3$	$- 63$
	$1$	$- 1$	$- 21$	$45$

Langkah 6.9

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(45)$ dengan pembagi $(3)$ dan tempatkan hasil $(135)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 135)$ .

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$	$- 3$	$- 63$	$135$
	$1$	$- 1$	$- 21$	$45$

Langkah 6.10

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$	$- 3$	$- 63$	$135$
	$1$	$- 1$	$- 21$	$45$	$0$

Langkah 6.11

Semua bilangan, kecuali yang terakhir, menjadi koefisien dari polinomial hasil bagi. Nilai terakhir pada garis hasil adalah sisanya.

$1 x^{3} + - 1 x^{2} + (- 21) x + 45$

Langkah 6.12

Sederhanakan polinomial hasil baginya.

$x^{3} - x^{2} - 21 x + 45$

Langkah 7

Selesaikan persamaan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Faktorkan $x^{3} - x^{2} - 21 x + 45$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.1

$p = \pm 1, \pm 45, \pm 3, \pm 15, \pm 5, \pm 9$

$q = \pm 1$

Langkah 7.1.1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 45, \pm 3, \pm 15, \pm 5, \pm 9$

Langkah 7.1.1.3

Substitusikan $3$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $3$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.1

Substitusikan $3$ ke dalam polinomialnya.

$3^{3} - 3^{2} - 21 \cdot 3 + 45$

Langkah 7.1.1.3.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$27 - 3^{2} - 21 \cdot 3 + 45$

Langkah 7.1.1.3.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$27 - 1 \cdot 9 - 21 \cdot 3 + 45$

Langkah 7.1.1.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $9$ .

$27 - 9 - 21 \cdot 3 + 45$

Langkah 7.1.1.3.5

Kurangi $9$ dengan $27$ .

$18 - 21 \cdot 3 + 45$

Langkah 7.1.1.3.6

Kalikan $- 21$ dengan $3$ .

$18 - 63 + 45$

Langkah 7.1.1.3.7

Kurangi $63$ dengan $18$ .

$- 45 + 45$

Langkah 7.1.1.3.8

Tambahkan $- 45$ dan $45$ .

$0$

Langkah 7.1.1.4

Karena $3$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 3$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{x^{3} - x^{2} - 21 x + 45}{x - 3}$

Langkah 7.1.1.5

Bagilah $x^{3} - x^{2} - 21 x + 45$ dengan $x - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$45$

Langkah 7.1.1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$

Langkah 7.1.1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Langkah 7.1.1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{3} - 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Langkah 7.1.1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Langkah 7.1.1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$

Langkah 7.1.1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $2 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$

Langkah 7.1.1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$

Langkah 7.1.1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $2 x^{2} - 6 x$

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$

Langkah 7.1.1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$

Langkah 7.1.1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$	+	$45$

Langkah 7.1.1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 15 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$	+	$45$

Langkah 7.1.1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$	+	$45$
							-	$15 x$	+	$45$

Langkah 7.1.1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 15 x + 45$

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$	+	$45$
							+	$15 x$	-	$45$

Langkah 7.1.1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$	+	$45$
							+	$15 x$	-	$45$
										$0$

Langkah 7.1.1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$x^{2} + 2 x - 15$

Langkah 7.1.1.6

Tulis $x^{3} - x^{2} - 21 x + 45$ sebagai himpunan faktor.

$(x - 3) (x^{2} + 2 x - 15) = 0$

Langkah 7.1.2

Faktorkan $x^{2} + 2 x - 15$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.2.1

Faktorkan $x^{2} + 2 x - 15$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.2.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 15$ dan jumlahnya $2$ .

$- 3, 5$

Langkah 7.1.2.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(x - 3) ((x - 3) (x + 5)) = 0$

Langkah 7.1.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x - 3) (x - 3) (x + 5) = 0$

Langkah 7.1.3

Gabungkan faktor sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.3.1

Naikkan $x - 3$ menjadi pangkat $1$ .

$(x - 3) (x - 3) (x + 5) = 0$

Langkah 7.1.3.2

Naikkan $x - 3$ menjadi pangkat $1$ .

$(x - 3) (x - 3) (x + 5) = 0$

Langkah 7.1.3.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

${(x - 3)}^{1 + 1} (x + 5) = 0$

Langkah 7.1.3.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

${(x - 3)}^{2} (x + 5) = 0$

Langkah 7.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

$x + 5 = 0$

Langkah 7.3

Atur ${(x - 3)}^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Atur ${(x - 3)}^{2}$ sama dengan $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Langkah 7.3.2

Selesaikan ${(x - 3)}^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1

Atur $x - 3$ agar sama dengan $0$ .

$x - 3 = 0$

Langkah 7.3.2.2

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 3$

Langkah 7.4

Atur $x + 5$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Atur $x + 5$ sama dengan $0$ .

$x + 5 = 0$

Langkah 7.4.2

Kurangkan $5$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 5$

Langkah 7.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat ${(x - 3)}^{2} (x + 5) = 0$ benar.

$x = 3, - 5$

Langkah 8

Polinomial dapat ditulis sebagai himpunan faktor linear.

$(x - 3) (x + 5)$

Langkah 9

Ini adalah akar-akar (nol) dari polinomial $x^{4} - 4 x^{3} - 18 x^{2} + 108 x - 135$ .

$x = 3, - 5$

Langkah 10