Aljabar Contoh

$f (x) = x^{4} + 12 x^{3} - 15 x^{2} - 24 x + 26$

Langkah 1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 13, \pm 26$

$q = \pm 1$

Langkah 2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 13, \pm 26$

Langkah 3

Substitusikan akar-akar yang memungkinkan satu demi satu ke dalam polinomial untuk mencari akar-akar aktualnya. Sederhanakan untuk mengetahui apakah nilainya adalah $0$ , yang berarti merupakan akarnya.

${(1)}^{4} + 12 {(1)}^{3} - 15 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 26$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $x = 1$ adalah akar dari polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 + 12 {(1)}^{3} - 15 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 26$

Langkah 4.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 + 12 \cdot 1 - 15 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 26$

Langkah 4.1.3

Kalikan $12$ dengan $1$ .

$1 + 12 - 15 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 26$

Langkah 4.1.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 + 12 - 15 \cdot 1 - 24 \cdot 1 + 26$

Langkah 4.1.5

Kalikan $- 15$ dengan $1$ .

$1 + 12 - 15 - 24 \cdot 1 + 26$

Langkah 4.1.6

Kalikan $- 24$ dengan $1$ .

$1 + 12 - 15 - 24 + 26$

Langkah 4.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Tambahkan $1$ dan $12$ .

$13 - 15 - 24 + 26$

Langkah 4.2.2

Kurangi $15$ dengan $13$ .

$- 2 - 24 + 26$

Langkah 4.2.3

Kurangi $24$ dengan $- 2$ .

$- 26 + 26$

Langkah 4.2.4

Tambahkan $- 26$ dan $26$ .

$0$

Langkah 5

Karena $1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menentukan akar yang tersisa.

$\frac{x^{4} + 12 x^{3} - 15 x^{2} - 24 x + 26}{x - 1}$

Langkah 6

Selanjutnya, tentukan akar-akar dari polinomial yang tersisa. Urutan polinomial sudah dikurangi oleh $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tempatkan bilangan yang mewakili pembagi dan bilangan yang dibagi ke dalam konfigurasi yang seperti pembagian.

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$

Langkah 6.2

Bilangan pertama dalam bilangan yang dibagi $(1)$ dimasukkan ke dalam posisi pertama dari daerah hasil (di bawah garis datar).

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$

	$1$

Langkah 6.3

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(1)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(1)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(12)$ .

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$
	$1$

Langkah 6.4

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$
	$1$	$13$

Langkah 6.5

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(13)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(13)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 15)$ .

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$
	$1$	$13$

Langkah 6.6

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$
	$1$	$13$	$- 2$

Langkah 6.7

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 2)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(- 2)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 24)$ .

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$	$- 2$
	$1$	$13$	$- 2$

Langkah 6.8

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$	$- 2$
	$1$	$13$	$- 2$	$- 26$

Langkah 6.9

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 26)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(- 26)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(26)$ .

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$	$- 2$	$- 26$
	$1$	$13$	$- 2$	$- 26$

Langkah 6.10

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$	$- 2$	$- 26$
	$1$	$13$	$- 2$	$- 26$	$0$

Langkah 6.11

Semua bilangan, kecuali yang terakhir, menjadi koefisien dari polinomial hasil bagi. Nilai terakhir pada garis hasil adalah sisanya.

$1 x^{3} + 13 x^{2} + (- 2) x - 26$

Langkah 6.12

Sederhanakan polinomial hasil baginya.

$x^{3} + 13 x^{2} - 2 x - 26$

Langkah 7

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(x - 1) (x^{3} + 13 x^{2}) - 2 x - 26$

Langkah 7.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$(x - 1) + x^{2} (x + 13) - 2 (x + 13)$

$(x - 1) x^{2} (x + 13) - 2 (x + 13)$

Langkah 8

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $x + 13$ .

$(x - 1) (x + 13) (x^{2} - 2)$

Langkah 9

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Kelompokkan kembali suku-suku.

$12 x^{3} - 24 x + x^{4} - 15 x^{2} + 26 = 0$

Langkah 9.2

Faktorkan $12 x$ dari $12 x^{3} - 24 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Faktorkan $12 x$ dari $12 x^{3}$ .

$12 x (x^{2}) - 24 x + x^{4} - 15 x^{2} + 26 = 0$

Langkah 9.2.2

Faktorkan $12 x$ dari $- 24 x$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 2) + x^{4} - 15 x^{2} + 26 = 0$

Langkah 9.2.3

Faktorkan $12 x$ dari $12 x (x^{2}) + 12 x (- 2)$ .

$12 x (x^{2} - 2) + x^{4} - 15 x^{2} + 26 = 0$

Langkah 9.3

Tulis kembali $x^{4}$ sebagai ${(x^{2})}^{2}$ .

$12 x (x^{2} - 2) + {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} + 26 = 0$

Langkah 9.4

Biarkan $u = x^{2}$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $x^{2}$ .

$12 x (x^{2} - 2) + u^{2} - 15 u + 26 = 0$

Langkah 9.5

Faktorkan $u^{2} - 15 u + 26$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.5.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $26$ dan jumlahnya $- 15$ .

$- 13, - 2$

Langkah 9.5.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$12 x (x^{2} - 2) + (u - 13) (u - 2) = 0$

Langkah 9.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$12 x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 13) (x^{2} - 2) = 0$

Langkah 9.7

Faktorkan $x^{2} - 2$ dari $12 x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 13) (x^{2} - 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.7.1

Faktorkan $x^{2} - 2$ dari $12 x (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (12 x) + (x^{2} - 13) (x^{2} - 2) = 0$

Langkah 9.7.2

Faktorkan $x^{2} - 2$ dari $(x^{2} - 13) (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (12 x) + (x^{2} - 2) (x^{2} - 13) = 0$

Langkah 9.7.3

Faktorkan $x^{2} - 2$ dari $(x^{2} - 2) (12 x) + (x^{2} - 2) (x^{2} - 13)$ .

$(x^{2} - 2) (12 x + x^{2} - 13) = 0$

Langkah 9.8

Biarkan $u = x$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $x$ .

$(x^{2} - 2) (12 u + u^{2} - 13) = 0$

Langkah 9.9

Faktorkan $12 u + u^{2} - 13$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.9.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 13$ dan jumlahnya $12$ .

$- 1, 13$

Langkah 9.9.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(x^{2} - 2) ((u - 1) (u + 13)) = 0$

Langkah 9.10

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.10.1

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x$ .

$(x^{2} - 2) ((x - 1) (x + 13)) = 0$

Langkah 9.10.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x^{2} - 2) (x - 1) (x + 13) = 0$

Langkah 10

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 13 = 0$

Langkah 11

Atur $x^{2} - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Atur $x^{2} - 2$ sama dengan $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Langkah 11.2

Selesaikan $x^{2} - 2 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x^{2} = 2$

Langkah 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Langkah 11.2.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \sqrt{2}$

Langkah 11.2.3.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \sqrt{2}$

Langkah 11.2.3.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Langkah 12

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Atur $x - 1$ sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 12.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 13

Atur $x + 13$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Atur $x + 13$ sama dengan $0$ .

$x + 13 = 0$

Langkah 13.2

Kurangkan $13$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 13$

Langkah 14

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x^{2} - 2) (x - 1) (x + 13) = 0$ benar.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 1, - 13$

Langkah 15

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 1, - 13$

Bentuk Desimal:

$x = 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots, 1, - 13$

Langkah 16